极限，并不是一个“趋向于”这么一个模糊的概念，它是有严格定义的：
设函数y=f(x)在x0的某个去心邻域（即(a,x0)∪(x0,b) ，其中a<x0<b）内有定义（不需在x=x0处有定义），若对于任给的ε>0，存在δ=δ(ε)>0，使得当0<|x-x0|<δ时成立不等式|f(x)-A|<ε，则称A是函数f(x)当x趋于x0时的极限，记为lim(x→x0)f(x)=A
另外，lim(x→∞)f(x)属于把x0推广到∞的广义极限，它的定义大致如下
设函数y=f(x)在(a,+∞)（a为一实数）上有定义，若对于任给的ε>0，存在δ=δ(ε)，使得当x>δ时成立不等式|f(x)-A|<ε，则称A是函数f(x)当x趋于正无穷时的极限，记为lim(x→+∞)f(x)=A
设函数y=f(x)在(-∞,b)（b为一实数）上有定义，若对于任给的ε>0，存在δ=δ(ε)，使得当x<δ时成立不等式|f(x)-A|<ε，则称A是函数f(x)当x趋于负无穷时的极限，记为lim(x→-∞)f(x)=A

好了，那些对极限有错觉的人可以洗洗睡了

对“极限”的通俗解释，可以参考 https://tieba.baidu.com/p/2171716644 我后面的回帖。