大家想要的正17边形作法及作法代数证明 - 数学吧

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富里哀楼主

在平面直角坐标系上,以原点O为圆心,以R为半径作圆,设圆与坐标轴的交点为A,B,C,D.1 在OX轴上取OE=1/4R,联结EC2 在OX轴上截取EF=EF'=EC,联结CF,CF'.3 在OX轴上截取FG=FC,F'G'=F'G4 以AG为直径作半圆交OC于H'5 以H为圆心,以1/2OG'为半径在OX轴上截取HI=1/2OG',连接HI6 在OX轴上截取IJ=IH7 作OJ的中垂线交O于K,J,连接AK,AL,其即为正17边形一边之长

2005年07月17日 11点07分 1

level 7

富里哀楼主

证明:设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a故sin16a=-sina,而sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a= =2的4次方sinacosacos2acos4acos8a因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有2(cosa+cos2a+ +cos8a)=-1注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有:x+y=-1/2又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+ +cosa+cos15a)经计算知xy=-1又有x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有x1+x2=(-1+根号17)/4y1+y2=(-1-根号17)/4解之可有:(大家自己解解吧,太难打啦!!!~~~~)最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出

2005年07月17日 11点07分 6

level 7

富里哀楼主

注:证明中类似"+ +"的地方意思是两个加号间的过程省略

2005年07月17日 11点07分 9

level 0

61.149.248.*

楼主发个图。。或者检查一下4、5步，看不懂

2005年07月17日 11点07分 12

level 7

jerry_science

经典！

2005年07月17日 11点07分 14

level 2

星云风暴

步骤一：给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，作C点使OC＝¼OB，作D点使∠OCD＝¼∠OCA作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度　步骤二：作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。　步骤三：过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，P4为第四顶点，P6为第六顶点。以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

2005年07月17日 11点07分 15