作者：梨小涯
链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/64519476
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著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
01
上大学后，我和死党小奔保持着密切的联络。
“学法学的最大感动就是……”小奔的声音居然有些颤抖，“终于不用学数学了!”
这样的朋友，我的身边其实不少。还记得高三班里播放了一个TED视频，讲数学焦虑症，旁边的大猫盯着屏幕，不一会就幽幽地冒出一句：“哎哟，中了中了，是我了……”
很熟悉的场景是吧？实不相瞒，我也如此，我曾是一个数学学渣和恐惧者。数学折磨我的经历，可谓刻毒。
但是，高考的时候，我的数学139分；
在上大学之后，我的数学成绩在专业排名10%同时，我发现，我开始有点欣赏数学之美了。
我是怎么完成思想转变、数学进步的呢？
听我慢慢讲吧。
02
其实起笔写这篇文章的时候，我有些犹豫。
我以前真的是一个数学很糟糕的人。
初三，数学成绩常年徘徊班级后半部分，极度羡慕数学成绩很好的同桌。
高一，总排名年级前二十的时候，数学成绩年级2000+，还挺不可思议的吧。
高二，文理分科，数学的弱势让我心有余而力不足。
高三，当语文扣分都比数学少的时候，我都开始怀疑自己的脑子长得是不是不太适合学数学。
但是到了高三下，奇迹就一点点发生了。我考了第一个140，虽然次数仅仅一次，但是还是让我高兴了很久。
大一，专业的微积分用的是数学分析，头疼过后，居然也能迎头赶上。
其实总体说来，数学变好，不过也是一年以内的事情。我其实不太自信，我又有什么资格来谈论数学这个古老而严密的学科呢？我的经验，哪有那些数学竞赛国奖、高考满分、在数学世界中游刃有余的朋友们有力量呢？
但是，我还是得说。因为这些东西实在是太有意义了，这里有一个精妙绝伦的数学世界，我实在不想让你们错过，因而白白错过了数学思维的旖旎风光。也许我不一个足够好的讲解员，也也许我有些大惊小怪，但是，这些思考方式的曾经确给了我茅塞顿开的感觉。我相信，它也能够帮助到和我境遇相似的一些朋友，无论是初中、高中还是大学。

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记得高三困扰我最深的一个问题就是，那些数学特别好的学霸是怎么思考的？
感觉他们的大脑就像一个神奇的机器，输入题目，吐出正确答案。中间发生了什么？问他们，有时候他们自己也说不清楚自己怎么想到的。
那段我的大脑里充斥着几种思路。
一种对我说，学数学不能做太多题目，你觉得高考会有重复的题目吗？都是新题，别想着做到原题，刷太多题目，有时候反而会被局限住！
另一种对我说，学数学就要多做题，反复做很多遍，做多了能做出“题感”！
还有一种说，分类，分很多类，每种都做几道，积累在本子上，然后考试的时候更容易想到类似的题目
这些方法，我从高一开始就一直在尝试，可是最终效果不尽人意。我还是没有办法尝到解题的乐趣和推理的魅力，更重要的是，我无法感觉思维有什么锻炼和成长。
我问了很多同学，也请教过老师，看过许多书，终于，这个中间过程还是让我发现了。
【基本原理】数学思考的基本原理
拿出任意一道数学题，观察一下，它有什么特征。
已知条件和结论对吧？我们解题的目标，就是要根据已知，得出一个答案或者结论。中间过程，也就是“如何从已知条件得到结论”，是我们需要探索得问题。
中间的发生了什么？怎么想到的？
怎么想到的呢？有时候是脑海里飘来的灵感，有时候是突然联想到一道曾经做过的题目，有时候是突然想到一个定理。
有没有一种普遍的方法，能够加速我们想到一个思路呢？
这种方法叫做——”探索法”
在做题的每一步，都不断地发问，好处就是让你的大脑活跃起来、尽快地想到解决办法，而不是盯着题目，大脑一片空白。
呈上一个活跃着的、思考数学问题的大脑：
首先，这个大脑开始理解题目。（很多朋友以为，读题是一个不太需要思考的题目，但是，高手们在这个阶段大脑已经预热起来了，并且开始对题目发问）
未知数是什么？
已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？
满足条件是否可能？
要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
画张图或者引入适当的符号。
把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？
然后，这个大脑开始寻找已知数和未知数的联系，并且开始进一步发问，以得到解题的灵感。
（图确实有点小了，但是请务必认真看一下!每一个问题都有可能是帮你想到正确思路的救星）
通过这一系列的发问和排查，大脑已经对条件进行了充分的解构，对结论进行了充分的联想，加快了你达到正确答案的速度，也许此时解题已经进展卓越了，就等待大功告成的一瞬。
对我而言，这样的方法真正教会了我思考：
现在遇到任何一个推理性的问题，我就会问自己：
①观察未知量——仔细观察，未知量是什么？
②观察已知量——再看，已知量是什么？
③已知量和未知量怎么发生联系？有时联想做过题目，有时联想定理公式，有时分解定义，有时拆分一个个条件，有时更改题设，有时结论反推。（来自于上面那张思维导图）
这整个过程，有点像让一个外星人来建造一个房子。
①（未知数）紧盯目标，我要一座房子！
②（已知条件）我有啥东西！
③（联系）我怎么用手头这些材料建造一个房子出来？
首先思考未知数：房子是啥？我曾经造过房子吗？没有啊……我记得小红、小明曾经建过一个房子，他们是怎么建的来着？
然后思考已知条件：我有木头、斧子、钉子，这些东西都是啥啊？我以前用过吗？
然后寻找联系：怎样从这些材料到建造房子呢？报一个木屋建造培训班？寻找一些以往建房子的资料模仿一下？回到定义看看是不是房子的定义中就有一些建造的方向？
如果以上还是没有想出来，没关系，那就看答案吧。着重关注，答案是怎么想出这个结论的，
每看一步答案，就要质问一下课本，“这答案每一步怎么想到的？是不是照着结论硬凑的？”大多数没想到，有两个原因，
对条件的积累不足，也就是说，你还没有彻底理解哪些木头斧子钉子是拿来干什么的以及曾经用来干过什么，因此你没有很好地迁移过来；
未知量的积累不足，反推建造一个房子需要什么材料和手续，你完全没有相应的积累，当然想不出来。
高手呢，他们用无数种材料建造过无数类型的房子，并且这一切深深地刻在他们的脑海里，无论出现材料还是房子，无论是小洋房、别墅、高楼大厦，他们都能联想到曾经实施过种种方案，甚至，在这无数种方案中，能找到一条非常新鲜的组合创新方案！
说白了，刷题主要是为了积累案例，积累模型，熟练知识为了以后看到条件或者未知数能够被触发。

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04 数学纵览——工具的重要性
承接上面的造房子案例，我们还可以引出另外一个话题，就是数学的材料和工具。
回顾一下从小到大的数学题，其实解决思想都是相似的，只是不同阶段使用的材料不太一样。
【小学·基础材料】基础的加减乘除、基础方程思想、基础的物理规律（追击问题等）
【初中·简单材料】基础代数（二次方程、反比例函数、因式分解…），基础几何（圆、相似性），简单的解析几何、基础概率、简单的三角函数等
【高中*中级材料】工具（修房子的材料）丰富了许多。更深入的代数（不等式等）、更加深入的几何（立体几何等）、难度更高的解析几何（椭圆、抛物线等）、变换更丰富的三角函数、更深的概率论（排列组合……）以及微积分初步……
【大学·高级材料】极限、连续、导数、积分、级数……特定领域的深入挖掘，更多抽象的概念工具和证明要求。
看到了吧，每一个数学成长阶段，你都会面对如此不同的砖头木块，纷繁而又有秩。你需要去一一识别，掂起来，感受、理解、使用。但是一以贯之的，是那种不断发问思路、解决困难的决心毅力还有好奇的愿望。
05
除了帮你解决数学题目，在实际生活中，这种未知联系已知的思维能帮你大忙。换句话说，任何推理性的问题——无论是推理小说寻找一个嫌疑人、还是逻辑谜题、灯谜、填字游戏，又或者是工程搭建、商业战略，都可以用到这种思维。
【商业思维】
未知量就是战略目标，已知量就是你手中的资源，如何用资源达到目标，既和经济学有关，又和数学思维密切相关
【工程问题】
你的思想还是遵循这样的基本思路，和上面造房子的思路相似。
第一，你的未知量是什么？一个工程大坝以及相关数据
第二，你有的条件是什么？（限制条件、有利条件）考虑的因素很多，包括经济、地质、生物……
第三，你已知的数据是什么？需要实际测算的数据很多
来自于《怎样解题》
【侦探问题】
推理一下，谁杀了人？理由是什么？
第一，观察未知量是什么？杀人凶手。
第二，观察已知量？
凶手是上述出现过的一个人。贺春帆、女仆还是张志远。
凶手有作案时间和作案动机。
时间线索：午时到酉时和狄公谈话，回去取过一次古董；女仆在卯时的点燃香；香可以燃到未时；“离开家一个小时，拙荆就自杀了！”；泼皮张志远曾经纠缠过贺春帆的妻子
分析两者之间有什么关系？矛盾在哪里？
以下是参考答案：
人们常常耽于解谜游戏，花上半个下午去密室逃脱、花上好几个小时去下一盘棋、花一晚上去玩剧本杀。是什么原因让他们不带功利之心、从事这种没有什么回报但又有些伤脑筋的活动呢？答案深植于人类对未知的探索欲。人们相信，推理，是发现真理的正道。逻辑，是正确未知的方向。
与上面这些活动类似，数学，如果经过了适当的启蒙，也可以是一样有趣的心智活动，可以是满足好奇心的一种爱好。
06
好的题目和某种蘑菇有点相似之处，它们都成串生长——波利亚
数学思维有点意思吧？
个人认为，最好玩的还不是这个，回到数学
如果我们学会怎么样来出一道题，就更能理解数学的思维了。
怎样来创造一道题呢？
我目前得知了三种基本办法：①普遍化②特殊化③类比
原题目：已知长方体三个维度abc，求对角线长度。
开始出题——
改变条件：
普遍化：已知从平行六面体对角线一端出发的三条棱长以及三条棱之间的夹角，求此对角线的长度。
特殊

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如果问我数学的关键，我想就是未知和已知。已知的内容填满人类的图书馆，未知又多如星辰
掌握的工具越多，越有可能提升自己解决问题能力。
就像那个外星人造房子的例子——
学了小学数学，相当于会造小木屋，
学了初中数学，相当于会造一个水泥房
学了高中数学，相当于能造小洋楼
学了高等数学，相当于能造一个大厦
知识虽然不同，但是都关于解密，关于人类的好奇心和探索欲，以及解决困难、改造世界的愿望。但非常重要的一点是，这个积累过程会很辛苦的，因为人的大脑本能地排斥抽象的东西，
从数学史可以看出，抽象的数这种东西的出现，本身是一个艰难的过程。原始的我们并不能够理解数学，古巴比伦、埃及、中国都有过数学的影子，不过基本上与具体经验密切相关，都是为了解决实际问题（农业测算、天气判断等），缺乏推理和抽象。直到古希腊，数学才真正意义上成了一门抽象的科学。因此，我们要理解这些抽象的数学智慧，自然需要耗费时间和精力。
最后，我数学的思想以及上面的很多想法，来源于一本非常有意义但同时有一些枯燥的方法论书——《怎样解题》这本书流畅已久，作者是斯坦福大学的教授波利亚，如果没有他，我现在恐怕还在数学苦海里挣扎，向他致敬。如果你处于解谜的困惑中，静下心来认认真真读一读他的书，会有不一样的收获。
上大学的时候，潇洒的数学老师曾经给我们总结过：
1、数学学习，没有捷径！
解题就像是游泳，是一样实践性的技能。看别人、听理论、抄写知识点，都不能让你真正学会解题。只有你一步一步走过，每一步走得清楚明白，才能真正学会。无疑，很烧脑细胞，寻找线索的时候，你会经历那种未知世界里游走的恐慌，会经历知识点的遗忘，但是非常有意义。它能让你对知识点的记忆更加深刻。
2.答案并不是尽量不看。只要思考到实在没有思路了，看一下答案又有什么呢？既能积累。不过，越是这种题，越要反复思考为什么没有想到这一点。
3.一定量的习题是必须的，数学需要熟练
3.大学生朋友们，在有一定高数的基础上，可以读一读数学历史，推荐《古今数学思想》。你会发现，数学作为文明之花，不是没有道理的。我也会写一些文章，讲一讲我读这本书时候的思想触动。
最后引用《怎样解题》作者的一句话：
数学除了作为通向工程工作和科学知识的必由之路以外，还有可能有乐趣，并能为最高智力水平活动开辟一个前景。 ——波利亚
共勉吧，希望有一天我们都能享受数学带来的活力。
最近看了一本《跨界学习》，里面也提到了这个思路，大家可以作为补充参考理解
【注】或许很多人也一直在用这种方法，也没觉得有什么特别的。但是当时确实解决了我内心的疑惑，我就想，也许写出来能帮帮那些和我一样心存疑惑的朋友吧。无论刷多少题，思维的锻炼，才是最终收获的东西。
这种探索思维，几乎是任何推理性问题的普遍思路，真的非常有效。有了思维，知识的积淀也会有方向了。
还有一点，虽然懂得了这个道理，但是效果最好的时候，还是在高三执行力爆表的时候，现在却有些怠慢懒惰了。
那些数学很棒的人，应当也还有坚韧勤奋、不拖延的品质吧，这些是我需要努力去学习的地方呀。
写这篇文章，用了两天，也是想督促一下自己——“道路千万条，执行第一条！！