问一道关于函数的题目 - 数学吧

level 7

644716095 楼主

对于定义域为D=[a,b]或(a,b)的单调函数f(x)，证明对于任意x1∈D,存在唯一的x2∈D满足(f(x1)+f(x2))/2=M，证明M=f((a+b)/2)
求详细讲解题目和有关知识点，谢谢

2013年03月22日 12点03分 1

level 7

644716095 楼主

感觉和大学里的什么中值定理有些关系

2013年03月22日 12点03分 3

本就是中值定理的一种表述;连续函数在区间内两点的取值之和的一半=以端点值之和为自变量的函数值的一半。我忘了怎么证明了，但画个梯形、矩形什么的还勉强理解得了。

2013年03月22日 13点03分

level 7

644716095 楼主

顶个

2013年03月24日 02点03分 4

level 15

KeyTo9

到底要证明哪一个？哪个已知条件..

2013年03月24日 02点03分 5

644716095

已知：对于定义域为D=[a,b]或(a,b)的单调函数f(x)，对于任意x1∈D,存在唯一的x2∈D满足(f(x1)+f(x2))/2=M 证明M=f((a+b)/2)

2013年03月24日 02点03分

level 15

KeyTo9

就D=[a,b]来证，不妨设为单调增函数
由题设2M-f(x1)总是属于f(x)的值域，由单调性可得
f(a)≤2M-f(x1)≤f(b)
代x1=a、b得
f(a)≤2M-f(a)≤f(b)
f(a)≤2M-f(b)≤f(b)
由上两个可整理出M=(f(a)+f(b))/2

2013年03月24日 02点03分 6

644716095

谢谢

2013年03月24日 03点03分

level 8

8_6_4

(a,b)时M不能确定。如 tanx 在(-pi/2,pi/2)上

2013年03月24日 02点03分 7

644716095

M=0啊，中心对称

2013年03月24日 03点03分

8_6_4

回复 644716095 :M可以取任何实数。因为f(x2)取值范围是负无穷到正无穷，所以f(x2)=2M-f(x1)总有解。

2013年03月24日 04点03分

644716095

回复 8_6_4 :...好像是

2013年03月24日 04点03分