吧主，要删也随便了……反正我不习惯加格式。
小数的标准构造并不是来源于除法。小数的构造可以按下面进行：
我们将区间(0,1)均分成10段。如图。
给分点标上号（从P[1,0]=0标到P[1,10]）。
如果x不在分点上，那么就有唯一的一段闭区间[ P[1,a[n]] , P[1,a[n]+1] ]包含x。，那么就定义x的第一位小数q[1]=a[n]。
假若x在分点上(x=P[1,a[n]])，那么这里就有两段包含x的闭区间：
[ P[1,a[n]-1] , P[1,a[n]] ] 和 [ P[1,a[n]] , P[1,a[n]+1] ]
种方法定义x的小数,一种是定义为q[1]=a[n]-1，另一种是q[1]=a[n]。
我们称取a[n]-1为第一种表示法，取a[n]为第二种表示法。为了统一，如果我们在这次使用了第一种表示法，那么后面就一直用第一种表示法。第二种也是。
我们可以继续对取得的区间分割。假设取了k次，得到了k位小数q[1]q[2]…q[k]，我们可以再继续对得到的区间分割成10份。假设分点为P[k+1,1],P[k+1,2],...,P[k+1,9]。
那同上，如果x不在分点上，那么就有唯一的一段闭区间[ P[k+1,a[j]] , P[k+1,a[j]+1] ]包含x。，那么就定义x的第一位小数q[k+1]=a[j]。
假若x在分点上(x=P[k+1,a[j]])，那么这里就有两段包含x的闭区间：
[ P[k+1,a[j]-1] , P[k+1,a[j]] ] 和 [ P[k+1,a[j]] , P[k+1,a[j]+1] ]
种方法定义x的小数,第一种表示法定义q[k+1]=a[j]-1，第二种表示法定义q[k+1]=a[j]。
这样可以归纳地定义q[n]。因此我们得到了一个数列{q[n]}，这样一来，我们就可以定义x的小数展开式为0.q[1] q[2] q[3] q[4] q[5]……。
然后，如果x永远不在分点上（x是无理数），那么{q[n]}是唯一的，也就是说不会碰到两种表示法的选择。
如果x在某个分点上，假设是第k次的分点，（设这个分点为b）
那么，两种表示法得到的结果就是：
1·0.q[1] q[2] q[3] …… q[k-1] b 9 9 9 9 9……（k位之后全是9）
2·0.q[1] q[2] q[3] …… q[k-1] b+1 0 0 0 0……（k位之后全是0）
比如，1/8的第一种表示法是0.12499999……
第二种表示法是0.12500000……
反之，假设我们有一个由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9构成的序列，（排除0000……和9999……）
也一定能够按上面的规则对应某个实数的小数展开式。（注意，这个对应可是唯一的）
但不排除有两个序列对应一个实数（就像上面的0.124999…和0.125000…都对应1/8）
这种构造法是小数的标准构造方法。可以推广到任意n（n是整数且n>1）的进制（每次把区间分成n份）
因此，分数并不比小数精确，小数并不比分数精准得更差，两者都是准确地表示了实数。
这也就是说，1/3严格等于0.3333……，并不存在任何“余数”的问题。

额。。。汉字真多

证明的漏洞太低级了，列举的都是非无穷数字，和无穷数字是两码事

小数最大的问题是~~如何定义加法

再有一种方法就是直接通过给定的序列，直接用级数得出小数的值。
这两种方法实际上正好是两种反方向的构造，上面那一种区间分割是从给定的实数构造出它的小数表示序列，级数法则是通过给定的序列得到实数。

好贴！收藏！

如果我没理解错的话，可以这样说：例：x=0.979；第一次时，会落在[0.9,1]上，第二次会落在[0.97,0.98]上，第三次会恰好落在[0.97,0.98]间的第9个分点上。这么说没错吧？

1/8的例子，是10/9然后得到类似1.9999...这样对吗？
求问1/3=0.33333...，就是唯一序列0.3333....么？