①1=1/3×3=0.333……×3=0.999……（最简洁的证明方法）
②0.999……=0.999……×(10-1)÷9=(0.999……×10-0.999……)÷9=(9.999……-0.999……)÷9=9÷9=1
③1/9=0.111……。。。2/9=0.222……。。。3/9=0.333……。。。4/9=0.444……。。。以此类推9/9=0.999……=1
④0.999……=0.9+0.09+0.009+0.0009+……=(0.9×10-0)/(10-1)（等比数列求和公式）=1
⑤根据无限循环化成小数的方法，0.999……=9/9=1（也很简洁）
⑥把实数映射到数轴上，发现0.999……和1所对应的点重合，因为0.999……和1的点之间没有任何其他点，说明这两个数之间没有任何其他数，区间（0.999……，1）是空集，说明它们相等。
（7）还有极限证明法，这是最严谨的证明方法，篇幅所限，还有列举太麻烦了，就不列举这种证明方法了。
以上7种无任何纰漏，均为正确。不服来辩

实际上第二种方法我把原来的方程法给改成算术法了
还有一种方法，我给忘了
⑧∵1-0.999……=0.000……1=0，∴1=0.999……。一定要注意，0.000……1=0（其中省略号表示无限循环）
还有很多创造出实际情景的方法，我就不一一列举了

自顶

还有一种证明方法
⑨列个竖式，两个相同的非零实数相除，在商的时候，故意商0，然后后面的位数都是9，用列除法竖式的方法证明了1=0.999……。（这种和第③中都是很浅显易懂的方法）
我倒看看你们有什么能反驳的地方

0.33…… 不等于 1/3

而是
0.3…… + a =1/3
其中a无限小

等号的用法有两种，一种是计算机的等号取个近似值，一种是绝对性的等号极限相同但不相等。

在完备的实属系统中，常数无穷小就等于0.

科普一下无穷小量
摘自 百度百科
1.无穷小量不是一个很小的数，它是一个变量。 2.零可以作为无穷小量的唯一一个数。 3.无穷小量与自变量的趋势相关。

@ghostin4
严谨点说，“无穷小”=“极限为0的函数”，这与到不到达0毫无关系。
另外，函数f(x)=0是无穷小，对于其他的c≠0,f(x)=c都不是无穷小，这才是“0是唯一的一个可以作为无穷小量的数”的本质意义。
再有，无穷小与0.999…=1这个没有什么必然的联系。

@木瓜之王
最后问一句无穷小表示成数字是怎样，是否是0.0000000...0001或者(1/10)的N次方，N趋向于无穷大
其他就不废话了

0.999循环=1
在完备的实数系统中，不存在非零无穷小。
还有，很可笑的是
你们都说0.999循环和1差了无穷小量
却不知道
无穷小量不是个数
无穷小量是个变量
你们的说法不攻自破
我们用1-0.999循环试试：
如果结果是有限小数或整数，那么它只能等于0；
如果结果是无限小数，就是你们所谓的“0.000……1”
却不知道，无限小数没有最后一位。要不怎么叫无限小数呢？
既然无限小数没有最后一位，那么你们所谓的“1”在哪里呢？
这样的话就没有最后一个“1”，就成了“0.000……”，那还是0
好好想想吧，好好学习吧。

⑥把实数映射到数轴上，发现0.999……和1所对应的点重合，因为0.999……和1的点之间没有任何其他点，说明这两个数之间没有任何其他数，区间（0.999……，1）是空集，说明它们相等。
为什么“0.999……和1的点之间没有任何其他点，说明这两个数之间没有任何其他数”，就能“说明它们相等”呢
就像小学一二年纪的时候，我只知道3与4之间没有其他任何数了。

支持

目前所有的证明方法都是错的