驳斥一篇奇文——《芝诺悖论今昔谈》对某个新理论，如果我们经过逻辑推理而得出某个结论，而这个结论却与人们公认的原理相矛盾，这种情形就叫悖论。如果悖论无法消解，则说明新理论有问题，或者人们曾经公认的原理有问题，人们必须通过修改新理论或者旧理论来消弭悖论。科学家对悖论问题情有独钟，他们往往通过设计“思想实验”来检验新理论与其它人们公认的旧理论之间是否存在矛盾，也就是是否有悖论。如果存在悖论，则说明新理论有问题，或者旧理论需要被抛弃。在爱因斯坦相对论和量子物理学被提出后，科学家就设计了大量的思想实验来检验这两个新理论，如双生子悖论、薛定谔的猫悖论等。
不过，大多数的所谓“悖论”，事后证明其实并不是真的悖论，而是提出这个悖论的人犯了逻辑推理上的错误，而这个错误又比较隐蔽而不被发现，于是才出现似是而非的所谓“悖论”。由于这样的“悖论”事后被证明并非真正的悖论，于是大多数人会改称其为佯谬。如以前的“双生子悖论”现在一般叫做“双生子佯谬”。
历史上著名的运动学悖论应该算是芝诺悖论。芝诺悖论曾经迷惑过很多人，包括伟大的亚里士多德也为之伤脑筋。芝诺悖论得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：
1、二分法悖论。物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。
2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）追龟悖论。快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
3、飞矢不动悖论。任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。
4、运动场悖论。两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。
此外有关于多的悖论，来自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述。大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。

吧主你能不能不要加粗字体，本来就没啥人会看，加粗了后更不方便阅读

芝诺的这些悖论现在看来并不成立，只要接触过微积分的普通大学生都能发现，芝诺在推理过程中犯了错误，所以芝诺悖论其实够不上称为“悖论”的资格，应该叫做“芝诺佯谬”才合适。但笔者最近发现，北京大学哲学教授吴国盛先生在他读研究生的时候写过一篇小论文，题目叫做《芝诺悖论今昔谈》，发表在《哲学动态》1992年第12期。吴先生坚持认为芝诺悖论继续有效，并认为芝诺悖论体现了芝诺对时空问题的深刻洞见。他说：“除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。” 芝诺悖论真的没有得到解决吗？芝诺悖论依然是一个悖论而不是佯谬吗？吴先生的理由何在呢？
仔细检查吴先生的论述，可发现其观点既错误，推理也不合逻辑，可以说不堪一驳。但考虑到这篇文章有一定的影响，甚至被一些网友引用而致谬种流传，故有必要对其中的错误予以澄清。需说明的是，由于这篇文章表达太过混乱而不清晰，似乎有意在与读者打“游击战”，所以我下面也只好对这篇文章中的主要错误予以澄清：
一、关于二分法和追龟悖论
吴先生说：“四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。”我不知道吴先生如此武断的说法依据何在，在我看来，古人不可能有时空分立的观念。这个问题暂不讨论，待对吴先生的推理错误揭示完毕之后再来予以说明。
在《芝诺悖论今昔谈》中，吴先生扼要介绍了19世纪以来从数学的、逻辑的角度提出的解决方案，并称之为“分析的方法”。以阿喀琉斯追龟悖论为例，我们可以发现，芝诺犯了数学推理上的错误。他在设计这一悖论时把空间进行了无限分割，然后把阿喀琉斯追龟的历时过程也相应进行了无限分割，他以为无限分割后再求和就会变成无穷大了，所以阿喀琉斯追不上乌龟。殊不知，无穷级数之和不等于无穷大，所以芝诺的推理是错误的。
芝诺构造的悖论1（二分法悖论）、悖论2（追龟悖论）和多悖论，所采用的方法是一致的。他都是首先把一个物理量（二分法和追龟悖论中的距离、时间，多悖论中的质量）进行无限分割，分割为无穷多的片段。然后又说，无穷多的片段相加必然是无穷大，于是就形成了悖论。在数学上我们知道，一个线段可以无限分割为无穷多的小线段，被分割后的无穷多小线段相加之后是一个有限量而不是无限量，其值与被分割的线段的值相等。只要明白了这一点，芝诺悖论就自然消解了。

这个过程没有终点，无论你弄出多么大的多边形，这个多边形的面积与圆形还是有差距。（按照芝诺的思路，每当多边形的边的数目扩大一次，这个多边形的面积就增加一次，无限次数的增加是一个无限量，所以圆形的面积是无穷大。这是驳倒芝诺的又一个例子。）但是，虽然完成这一过程是一个不可能做到的“超级任务”，却并不妨碍我们在逻辑上把它当作为一个可以完成的任务，从而精确地计算出圆形的面积来。数学的过程可以是一种虚构，这种虚构可以是无法完成的“超级任务”，但这不妨碍数学推理的有效性。如果以多边形永远不能变成一个圆形为理由，从而认定在数学上不可能求出圆形的面积，或者认为圆的面积应该是无穷大，这样的说法乃是无稽之谈。
数学的过程有很多不可能完成的“超级任务”，求极限是其中之一，复数的运算则是另一个例子。计算飞机的升力使用的是儒可夫斯基定律，这个定律就是一个复变量方程，量子力学的薛定谔方程也是复变量方程，对复数的运算，这更是一种虚拟的过程，是在现实中更加不可能完成的“超级任务”。难道因为复数运算在现实中是不可能完成的“超级任务”，就可以认定儒可夫斯基定律和薛定谔方程无效？
很显然，《芝诺悖论今昔谈》的作者吴先生没有弄明白数学的实质。数学是一种逻辑，数学推理的过程就是逻辑推理的过程。在数学中进行极限的运算，乃是因为我们事先在相关的概念的定义中引进了它。只要你始终保持着概念的同一性，那么其推理就是有效的。例如，我们强行把i定义为-1的平方根，从而引进复数的概念，而不必理会这样的定义有没有现实中实在的意义。引进i这个概念的目的，是为了要使用这个概念来表达一些物理概念，例如薛定谔用复数来表达概率幅，用概率幅的复共轭表达概率。同样，我们也可以把距离和时间等物理量看成是无限可分的连续变量，从而引进极限的概念，而根本不需理会“无限可分”是否可以在现实中操作，也不必理会时间和空间到底是连续的还是分立的（或离散的）。一旦我们引入了极限的概念，那么我们在数学运算中就难以避免地要进行极限的运算。这样的运算在现实中的确是“超级任务”，但在数学推理过程中是完全有效的。
总之，以数学推理过程出现的所谓“超级任务”为理由，从而认定用数学分析的方法对芝诺悖论的消解无效，这是没有道理的。

二、关于飞矢不动悖论
芝诺提出：“任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。”
在这里，芝诺犯了一个非常明显的逻辑错误，“任何东西占据一个与自身相等的处所时”的状态可以是静止的，也可以是运动的。正如作者吴先生所言，判断一个物体是否运动，唯一的办法是看它有没有速度，而不是要看它是否占据一个与自身相等的处所。因此，“任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的”这句话是不成立的。既然前提不成立，结论当然也就不成立，飞矢不动悖论就此消解。
但吴先生节外生枝，提出：“总的来讲，如果说运动物体在每一瞬间都处在一个位置，那么在这一瞬间，我们的确无法知道它是否是运动的，特别是当时间和空间不连续时。”这句话当然是不错的，但不说明任何问题，不能说明芝诺的飞矢悖论依然成立，因为“无法知道它是否是运动的”并不等于静止。
摄影记者拍摄一个伦敦奥运会刘翔飞奔的形象，从画面看，我只能知道刘翔在摄影记者拍摄的瞬间占据了与自身相等的处所，我并不能得出刘翔正在运动的结论，因为也许刘翔不过摆了飞奔的姿势而已，他当时却是静止不动的。但是，不知道刘翔当时是否运动，不等于刘翔一定就是静止的，也不能证明刘翔不能运动。
在这里，《芝诺悖论今昔谈》的作者吴先生犯了偷换主题的逻辑错误，即所答非所问。

三、悖论与时空结构的关系
关于运动场悖论，我没有完全弄明白芝诺的意思，吴先生说是一个相对运动的问题，但原文显得很没有思维的深度，因而有可能不是芝诺的愿意。因这个问题的愿意还没有弄清，所以我不再予以说明。可以肯定的一点是，不管是运动场悖论还是飞矢不动悖论，这些与时空是否连续无关。在芝诺的脑子里，不可能出现时空分立的概念。这种量子力学里才出现的高级概念，在两千多年前没有出现的可能，也没有出现的必要。
吴先生力图通过挖掘芝诺悖论的“微言大义”来论述时空结构，结果就是其论证不清不楚，错漏百出。试引述一段吴先生的论述，让我们看一看其中的错谬：
“把时间空间看成连续的，也就是把它看成一个实数连续统。用实数连续统描述时间出现两个问题：第一，任一时刻不存在一个紧随其后以及它所紧随的之前的时刻；第二，任意两时刻之间有无穷多个时刻。这两个特征都与我们的时间经验发生了抵触，若时间真是一个连续统，那之前和之后关系在时间的结构中就找不到依据了，而之前之后关系恰恰是我们时间经验中最重要的因素……
时空的分立点结构所导致的问题也许是更为深刻的。由于分立结构必然导致一切运动速度均相同的荒谬结论，我们有必要重新审视时空的结构本身……”
分析：
1、我看不出“任一时刻不存在一个紧随其后以及它所紧随的之前的时刻”和“任意两时刻之间有无穷多个时刻”，这两句话与我们的经验有何抵触；
2、“若时间真是一个连续统”，并不能推出：“那之前和之后关系在时间的结构中就找不到依据了”；
3、“分立结构必然导致一切运动速度均相同”没有依据，乃是无稽之谈。
其实，芝诺悖论与所谓的时空结构一毛钱的关系都没有。所谓的悖论就是矛盾，是两个理论或两个命题之间的矛盾。悖论的产生是由于我们认识上前后不一致而形成的，跟真实的物理世界到底怎样是没有关系的。物理世界是无所谓悖论的，说自然界存在悖论，就好比说“速度很长”、“距离很快”一样，是一种语法逻辑上的错误。而要解决悖论，唯一的做法是检讨我们的认识是否前后一致，而不是要去弄清楚客观实在的真相。也许我们对自然界的认识是错误的，但如果这种错误前后一致，没有逻辑上的错误，那就不会产生悖论。
不管我们把物理时空当作是连续的还是离散的，只要我们前后一致，那是不会产生悖论的。很多的时候，虽然我们面对的是一个离散的物理世界，但我们依然可以用连续统的概念去把握它。例如，要计算地球与月球之间的万有引力，我们把地球和月球都看成一个连续的实体，并用微积分进行计算。在这里，虽然组成地球和月球的物质并不是无限可分的，但我们在数学上把它当作无限可分。这样的做法有可能计算得出的结果不够精确，但有一点可以肯定：这样的做法不会导致悖论，因为我们的认识前后一致，因此不出现矛盾。同样的道理，也许空间和时间的确不是无限可分的，但我们一样可以把它看成是无限可分的，并在此基础上进行数学运算，运算的结果当然也不一定精确，但一定不会导致悖论。

不知道吧主究竟是转贴何人所写的文章,文章的作者显然不懂得连续性与间断性(即文章中所说的"时空分立")的区别,并且认为在芝诺的时代不可能会有"时空分立"的概念,这就是典型的无知了.其实,时空分立(或者叫做时空离散、时空间断）并不是现代才有的概念，而是早在古希腊的时代便已经深入探讨的论题，与哲学中的唯物主义与唯心主义相对立类似，在古希腊时代，也有与之相类似的对立论题，例如：连续性与间断性的对立论题，潜无穷与实无穷的对立论题。
讨论芝诺悖论以及由芝诺悖论所引申出来的无限机器问题，如果不懂得连续性与间断性的区别，不懂得潜无穷与实无穷的区别，那讨论双方基本上就是鸡同鸭讲，语言不通。

例如运动场悖论，在吴国盛的《芝诺悖论今昔谈》中，为了更加具体的说明这个问题，给出了一组甲甲乙乙的队列模型，以时空分立的角度来分析其悖论之处，但我敢肯定的说，100个读者中至少有99个读者搞不清楚这种队列究竟是什么意思，也闹不懂究竟悖在何处。在此我也不好给出说明（因为说了也肯定看不懂）。
下面从原文中摘出一段话，说明原文作者的的确确是不懂得连续性与间断性的区别：
关于运动场悖论，我没有完全弄明白芝诺的意思，吴先生说是一个相对运动的问题，但原文显得很没有思维的深度，因而有可能不是芝诺的愿意。因这个问题的愿意还没有弄清，所以我不再予以说明。可以肯定的一点是，不管是运动场悖论还是飞矢不动悖论，这些与时空是否连续无关。在芝诺的脑子里，不可能出现时空分立的概念。这种量子力学里才出现的高级概念，在两千多年前没有出现的可能，也没有出现的必要。

不明觉厉,

鉴于哲学吧标题贴太多，为引导大家认真发贴，所以我特为下面两贴申精，1：【人类相互冲突的13大价值】，主贴及随后的回复较好地阐述了辨证法；https://tieba.baidu.com/p/2403366418?pn=1。2：【凡是脱离数学谈物质运动的都是民科】，含前后两贴，较好地阐述了数学在解决非价值判断问题中的基础作用及哲学的概念；https://tieba.baidu.com/p/2435306334

很专业了，有点看不懂。
肯定是偏好文章

例如飞矢不动悖论，若是在假设时空连续的前提下，没有任何悖论可言，而只有在时空间断（时空分立，时空离散）的前提下，才会构成悖论。
又例如著名的快跑者追不上乌龟的悖论，若是假设在时空间断（时空分立，时空离散）的前提下，问题迎刃而解，无悖可言，而若是假设在时空连续的前提下，则无解。

微积分妙破芝诺的前两个悖论，无限细分后积分岂能是无限？芝诺的第一个·犯人悖论的荒谬之处在于认为无限细分一个有限空间后累加这些无限小项会是无穷大。无限小即使是作0处理，其累加、累·乘、累减、累除，结果都不一定是无穷大，而可能是1、2、ln3、sin5这样很小的数。有限个0的加减乘除会是0，而无穷多个·0相加相减相乘就不一定是0了。芝诺悖论设定只要细分后的各段路程不为0，那么其累加就会是无穷大只是一种直观思维的错误而已。
还有就是第二个悖论认为只要阿基里斯始终会通过一个中点而追不上龟，其实这只不不过是首项为1或1/2，公比为1/2的无穷等比级数求和而已，结果只是1而已。
飞矢不动说：飞矢在每一个瞬间都占据一个·静止的空间，在每一个瞬间飞矢都是静止的，时间是由这些瞬间构成的，所以飞矢是不动的。这个·悖论的问题出在哪里呢？
它无视时空的连续性、流动性。总的时间虽是由这无数个瞬间构成的，总的空间虽然是由这无数个局部看是静止的空间构成，但宏观来看，此时刻不同于彼时刻、此空间不同于彼空间。虽然就局部来看，飞矢在每一个·瞬间、每一个微小空间都是静止的，但由于这每一个时间和·空间都是不同的，所以，宏观来，不同时刻处在不同空间的飞矢就是运动的。
除非时间是不·流动的，各个微细空间都是相同的，飞矢才会是不动的、物体的运动才是不可能的。
运动场悖论其·实是一个迦利略变换，连更奇特的洛仑兹变换都说不上。
不过芝诺还是有功劳的，他促成了微积分和迦利略变换的产生。但今天在数学盲和没有学过微积分的人中，芝诺悖论还是顽强地存在着，还有一些人愚蠢地在用某些哲学【不是全部哲学】和形式逻辑来解读这几个悖论。

吴国盛数学能力不专业，但数学见解深刻
反驳者数学技能还可以，但数学层次略浅
正可谓旧的矛盾解决了，新的矛盾产生了
极限思想的确解决了芝诺悖论，但不是没有产生新的问题，无限小（也包括无限大）是个什么东西？
数学讲究精确性，无限小为何最后可以等于0？
这个问题需要很久以后，《ε-δ语言》的出现部分解决，无限小（无限大）从此被踢出数学。
剩余的问题，有些是和 数与点的定义有关，比如一个无限小数能是一个点吗？一个点如何可以用无限趋近的方法到达这个点？
这个问题不解决，！芝诺悖论在无理数范围没有解答。无限趋近就只是一个糊涂说法。
这得等到集合概念的产生后才得到解决，
这时点的概念被解释称一个开区间，比如0=（-0,+0）。无限小数被定义成两个无限数列组成的区间，
只有在这时，可以逻辑严谨的确定，一个无理数确实是一个点区间，不存在不是区间的点，无限趋近就是两个区间相交的过程。
还有一个问题，
反对者说，“不管我们把物理时空当作是连续的还是离散的，只要我们前后一致，那是不会产生悖论的”。
反对者说，“虽然我们面对的是一个离散的物理世界，但我们依然可以用连续统的概念去把握它”。
反对者
一方面说“只要我们前后一致，那是不会产生悖论的”，
一方面又说“离散的”仍可以用“连续统”把握它，
也就是，我们 却依然 可以用”连续统“偷换”离散“，而不产生悖论！
但芝诺悖论不就是因”连续统“偷换”离散“这种前后不一致，出现的悖论吗？
如果“离散”可用“连续”把握，“连续”可用“离散”把握，（这在现实中还真可做到），
那就要考虑离散与连续是否相容，或者考虑，一个是否蕴含在另一个之中，
如果一个蕴含在另一个之中，或离散与连续相容，那么芝诺涉及的空间为何在连续与离散上出现矛盾呢？
这是由芝诺悖论引出的新问题。。。
公理集论诞生后，一个重要的结果就是，不可由离散集论证明连续统假设，连续统不可证！
这说明，连续与离散是各自独立不相容的，“连续”不可用“离散”把握！
这与大量的现实情况不符，正如反对者所说：”虽然离散，但我们依然可以用连续统把握“，
这个问题不解决，芝诺悖论就不能完全解决！