17题.....

解：
原式 ＝ ( 0,+∞)∑{ [(2n+1) + 2/(2n+1)]x^(2n)}
其收敛半径为 R ＝ 1，
当 x = ±1 时， 级数变成
( 0,+∞)∑{ [(2n+1) + 2/(2n+1)｝
( 0 --> +∞)∑{ [(2n+1) + 2/(2n+1)｝= +∞ , 级数发散。
故收敛区间为 -1 < x < 1 .
在 收敛区间为 -1 < x < 1 内， 令
S(x) = 原式 ＝ ( 0,+∞)∑{ [(2n+1) + 2/(2n+1)]x^(2n)}
＝ ( 0,+∞)∑{ [(2n+1) x^(2n)} + (2/x)* ( 0,+∞)∑{1/(2n+1)]x^(2n+1)}
= {( 0,+∞)∑ x^(2n+1)}' + (2/x)*{( 0,+∞)∑[(0,x)∫t^(2n)dt}
= {x*( 0,+∞)∑ x^(2n)}' + (2/x)* (0,x)∫{( 0,+∞)∑ t^(2n)}dt
= {x/(1-x^2)}' + (2/x)* (0,x)∫{(1/（1-t^2)}dt
= (1+x^2)/(1-x^2)^2 + (1/x)*ln{(1+x)/(1-x)}

( 0,+∞)∑{ [(2n+1) x^(2n)} = 1 + 3x^2 + 5x^4 + 7x^6 + ...
{( 0,+∞)∑ x^(2n+1)}'
= { x + x^3 +x^5 + x^7 +... }'
= 1 + 3x^2 + 5x^4 + 7x^6 + ...
显然， ( 0,+∞)∑{ [(2n+1) x^(2n)} = {( 0,+∞)∑ x^(2n+1)}'
我的表达式似乎没有什么错误啊？
当然， 你的考虑是
正确的
。

你不妨将数列的头 1、 2、 3 项列出，进行对比。然后你自己决定是否需要更改求和的下标和初项。

例如：
( 0,+∞)∑ x^n ＝ 1 + x + x^2 + x^3 + ....
式子 {( 0,+∞)∑ x^n }' = ( 0,+∞)∑ n*x^(n-1) 是不是对呢？ 可以这样比较：
正确的答案是：
{( 0,+∞)∑ x^n }' = ｛1 + x + x^2 + x^3 + ....｝’ ＝ 1 + 2x + 3x^2 + ... ,【 = ( 1,+∞)∑ nx^(n-1) 】
但 ( 0,+∞)∑ n*x^(n-1) ＝ 1/x + 1 + x + x^2 + ... , 这显然不正确，故应该修正下标或者初始值。可以写成
1） {( 0,+∞)∑ x^n }' = ( 1,+∞)∑ nx^(n-1) －－－ 求和从原来的 n = 0 开始改为从 n = 1 开始 。 这种方法优先采用。
2） {( 0,+∞)∑ x^n }' = ( 0,+∞)∑ （n+1）x^n －－－ 改通项的表达式。

而一般的方法是：
1） 如果数列（ m,+∞)∑ A(n,x) 的第一项 A(m,x) 是常数项，则
｛（ m,+∞)∑ A(n,x)｝' = （ m+1,+∞)∑ A'(n,x) , 【求导后的级数求和从原来的 n = m 开始改为从 n = m+1 开始 】。
例如： {( 0,+∞)∑ x^n }' = ( 1,+∞)∑ nx^(n-1)
2） 如果数列（ m,+∞)∑ A(n,x) 的第一项 A(m,x) 不是是常数项，则
｛（ m,+∞)∑ A(n,x)｝' = （ m,+∞)∑ A'(n,x) , 【求导后的级数求和仍然是从原来的 n = m 开始】。
例如： {( 2,+∞)∑ x^n }' = ( 2,+∞)∑ nx^(n-1)
同理可以推出：
如果数列（ m,+∞)∑ A(n,x) 的第一项 A(m,x) 是 x^p，则
1） p ＜ k 时
｛（ m,+∞)∑ A(n,x)｝的 k 次导数 = （ m+k-p,+∞)∑ {A(n,x) k 次导数} , 【求导后的级数求和从原来的 n = m 开始改为从 n = m+ k-p 开始 】。
例如： {( 0,+∞)∑ x^n }' = ( 1,+∞)∑ nx^(n-1)
2） p ≥ k 时
｛（ m,+∞)∑ A(n,x)｝的 k 次导数 = （ m,+∞)∑ {A(n,x) k 次导数} , 【求导后的级数求和仍然是从原来的 n = m 开始】。
如果你对这个规则不熟练或者对自己没有信心， 建议你用我在 6 楼中的方法进行检验，这样就万无一失了。呵呵
以上是我自己归纳总结写出来的， A(n,x)的表达或一些文字也不是很规范，大家不必喷 x

我的百度无法读你写在“回复”上的东西。你需要在最后一楼上写出来（即写给所有人看，不是回复我），这样我才能读到

@parkteng2011

谢谢，很有用，其实说到底就是把n=0代入式子看看是不是常数项，也就是说存在不存在第一项是x的0次方(也就是说不管如何，只有可能是第一项可能会出现常数项，从第二项开始根本不可能出现常数项)，这样理解对吗？@parkteng2011

回 9 楼：
我不是在 3 楼中解出来了吗？

您三楼的解有瑕疵没有讨论x=0的情况

不管怎么样还是应该谢谢你，没有注意到会有常数项@parkteng2011

你说得对， 我漏讨论 x = 0 情况。显然， x = 0 时， S(x) = 3

但 ( 0,+∞)∑ n*x^(n-1) ＝ 1/x + 1 + x + x^2 + ... , 这显然不正确，故应该修正下标或者初始值。
这里写错了，第一项应该是0.
@parkteng2011

@parkteng2011
貌似没召唤到

刚刚看到，
好的，我又写错了。
还有错的地方吗？

这个我也懂了，反正就是看第一项是不是常数，然后作积分的话还要看初始值要对应，话说您概率论的假设检验懂吗？@parkteng2011 

懂，但极少去碰这些。假设检验应偏向于数理统计吧？