结绳记事，是人类早期文明的重要活动，也是计算的原始形式之一。几千年过去了，让我们重拾祖先结绳记事的本领，以二维电子气中非凡粒子的世界线做绳，一起进入拓扑量子计算这个神奇的领域。　　


　　量子计算机有望完成一些人们认为在普通计算机上无法完成的计算任务，其中包括一些在我们生活中非常重要的计算。例如，如果一台计算机能够在合理的时间内，将一个大数做因子分解，那么广泛使用的加密方法就会被破解。几乎所有用于高度机密数据的加密方法，都会在某种量子算法面前变得不堪一击。
　　量子计算机之所以拥有超群的计算能力，是因为它所处理的信息表示为量子比特(qubit)，而不是表示为比特形式。普通的经典比特要么是0，要么是1, 而且标准的微晶片体系结构严格地保证着两者的区别。相比之下，量子比特却可以处在所谓的叠加态，即0和1的部分同时存在。我们可以把量子比特的可能状态看作是球面上的一点。北极是经典计算中的1，南极是0，两极之间的所有点就是0和1的所有可能叠加[参见《科学美国人》2002年11月号迈克尔·A·尼尔森所著《量子信息学的奥秘》一文]。量子比特能在整个球面上自由漫游，使量子计算机获得了它们独特的能力。
　　遗憾的是，建造量子计算机看起来极其困难。量子比特一般表示为俘获粒子(比如单原子离子或电子)的某种量子属性。但它们的叠加态极其脆弱，与环境(包括构成计算机本身的一些材料)之间非常微小的杂散作用也可能破坏这种状态。如果量子比特不能与环境有效隔离，这些扰动就会给计算带来差错。

　　因此，量子计算机的大部分设计方案都集中在寻求方法，尽量减小量子比特与环境的相互作用上。研究者相信，如果差错率能够降低到大约每10,000步一个差错，那么纠错过程就能发挥作用，补偿单个量子比特的衰减。要制造出能运作的量子计算机，既需要大量足够独立的量子比特，又需要达到这么低的差错率，这是一项极其艰巨的任务，物理学家还远远没有做到。
　　为了建造量子计算机，一些研究者正竭力探索一条迥然不同的途径。他们把量子状态和物理系统的拓扑性质巧妙地联系起来。拓扑是数学的一门分科，它是指研究对象在诸如拉伸、压缩和弯曲等作用下发生连续形变时(不做剪切或连接的情况下)，性质保持不变；其中也包括了纽结理论。小小的扰动不会改变拓扑性质。比如，一条打了结的绳圈在拓扑上不同于未打结的绳圈[参见17页图]。要把绳圈变成带有纽结的绳圈，惟一的办法就是将绳剪断，打上结，再把断头重新接起来。把拓扑量子比特转换成不同的状态，也需要某种类似的强烈作用，来自环境的微小扰动无法产生这样的效果。

　　乍看上去，拓扑量子计算机根本不像计算机。它在编成辫的绳上进行计算，不过所用的绳子不是一般意义上的普通绳子，而是物理学家所钟情的世界线(world line)。世界线代表着粒子在时空中的运动——这些绳的长度代表了时间，而它们的粗细代表着粒子的物理维度。不仅如此，就连用到的粒子，也不是人们第一时间会想到的电子和质子，而是一种准粒子(quasiparticle)——在二维电子系统中的激发(excitation)，它们的表现很像高能物理中的粒子和反粒子。再往深里说，这类准粒子是指具有期望的数学性质的一类特殊的任意子(anyon)。
　　让我们来看看拓扑量子计算是怎样进行的：首先，我们造出若干对任意子，并把它们排成一行 [参见18页的方框]。每一对任意子都很像从纯能量造出的粒子和它相应的反粒子。
　　接着，让相邻的任意子组成一对，按精心设计的顺序相互缠绕。每个任意子的世界线都形成一条绳；当任意子按这样或那样的方式做对换移动时，就把这些绳编成了辫。量子计算的过程就被封装在这样形成的特定辫中，而任意子的最终状态就包含了计算的结果。由于计算结果是由辫，而不是由任何杂散的电或磁的相互作用决定，计算结果对外界的扰动就具有了内在的抵抗能力。因为辫是拓扑性的，所以对绳稍做扰动，并不改变辫的编织方式。用任意子来完成计算的思路，是由目前为微软工作的亚历克西·于·基塔耶夫(Alexei Yu. Kitaev)1997年提出的。

　　现在也在微软工作的弗里德曼，1988年秋就曾针对利用量子拓扑进行计算的可能性，在哈佛进行过演讲。他当时集中研究某些抽象的二维物理系统和数学上的纽结不变量之间的联系，并把在此基础上形成的一些观点写进了当年发表的研究报告中。如果我们可以造出一个实际的物理系统，并能完成相应的测量，那么就基本上可以自动计算出纽结不变量，不需要像经典计算机那样做冗长的计算。用类似的窍门还可以解决具有同样难度，但在现实中更为重要的一些问题。
　　尽管这种想法听起来荒诞至极，最近在称为分数量子霍尔物理学(fractional quantum Hall physics)的领域中进行的实验却为任意子方案提供了更为坚实的基础。人们还提出了完成拓扑量子计算雏形的进一步实验的方案。　　

任意子
　

　　如前所述，拓扑量子计算机通过对换粒子的位置来编织世界线。对换后粒子行为上的差别，是区分量子物理与经典物理的方法之一。在经典物理中，如果有两个分别位于A和B的电子，我们互换它们的位置，前后的状态会完全相同。因为电子是不可区分的，它们的初始和终了状态也无法区分。量子力学却没这么简单。
　　之所以会出现这种差异，是因为量子力学用称为“波函数”的量来描述粒子的状态。波函数在空间上包含着有关粒子的全部信息——包括粒子处在某个位置上的概率，粒子速度取某个值的概率等等。举例来说，我们更有可能在波函数幅值较大的区域找到粒子。
　　一对电子是用一个联合波函数来描述的。当两个电子互换时，得到的联合波函数是–1乘上原来的波函数。这会把波峰变到波谷，反之亦然，但对振荡的幅度没有任何影响。实际上，单独考虑两个电子时，互换并不会改变任何可测量的物理量。
　　真正发生改变的，是电子与其他电子发生干涉(interfere)的方式。干涉发生在两个波叠加的时候。当两个波发生干涉时，在波峰一致的地方会组合出高振幅(即“建设性干涉”)，而在波峰遇到波谷的地方会出现低振幅(即“破坏性干涉”)。 用–1相位去乘其中一个波，就交换了它的峰谷的位置，也就改变了对应的建设性干涉和破坏性干涉中亮点和暗点的位置。

　　不仅仅电子能够按这种方式取-1因子，质子、中子以及属于所谓费米子(fermion)类型的任何粒子都可以。对另一类重要的粒子——玻色子(boson)而言，两个粒子互换不会使它们的波函数发生改变。我们可以说，在它们的波函数上乘了+1因子。(自旋量子数为普朗克常数整数倍的，就称玻色子，如光子、介子等；而半整数倍的就称费米子，如电子、质子等。)
　　基于数学上的深层原因，三维世界中的量子粒子不是费米子，就一定是玻色子。但在二维世界中，有另外一种可能：所乘的因子可以是一个复相位。我们可以把复相位看作一个角度。零度对应1这个数；180度对应-1。中间的角度就是复数了。比如，90度对应于i，即–1的平方根。当用一个相位–1的因子去乘波函数时，虽然对单个粒子可测量的性质不产生任何影响(因为所有这些性质都只关心波的振幅)，但是，相位可以改变两个复波的干涉方式。
　　因为对换时不仅仅取正的或负的相位，而是可能出现任意的复相位，我们就把对换时取复相位的粒子称为任意子。尽管如此，特定种类的粒子总是取相同的相位。

平面王国中的电子

　　任意子只存在于二维世界中。那么为了进行拓扑计算，我们怎样在现实的三维世界中制造出任意子对呢？答案就在准粒子的平面王国里。我们可以用精心设计的工程方法在两片砷化镓的接触面上制造出电子气(electron gas)。电子可以在接触面的二维空间中自由移动，但它们受限无法在脱离接触面的第三维上移动。物理学家对这类称为二维电子气的电子系统，特别是对系统在极低温度下浸入强磁场中的情形，作过大量研究。因为在这样的条件下系统显示出不同寻常的量子性质。
　　例如，在分数量子霍尔效应中，在电子气中的激发行为看起来像是具有分数量的电子电荷。而别的激发在其周围携带着一定单位的磁通量，而这部分通量就像粒子自身的一部分。2005年美国纽约州立大学石溪分校的弗拉迪米尔·J·戈德曼(Vladimir J. Goldman)、费尔南多·E·卡米诺(Fernando E. Camino)和周威(Wei Zhou)声称在实验中直接证实了在分数量子霍尔态下出现的准粒子就是任意子。这是用拓扑方法进行量子计算的关键的第一步。不过，一些研究人员还在寻找独立证据来证明准粒子本质上就是任意子，因为某些非量子效应也可能产生出戈德曼和他的同事观察到的结果。
　　在二维世界里，当两个粒子对换时会遇到一个重要的新问题：互相交换时，粒子是取顺时针轨道还是逆时针轨道？波函数取的相位和这个性质有关。这两种轨道在拓扑上是不同的，因为实验人员在不做轨道交叉和让粒子在某处发生碰撞的前提下，无法把顺时针轨道连续地变形到逆时针轨道。

　　为建造拓扑粒子计算机，我们需要另外一个条件：任意子必须是所谓的非交换的。这个性质意味着被对换的粒子出现的顺序很重要。设想三个完全相同的任意子排成一行，分别处在A、B和C位置上。先对换处在A和B位置上的任意子，然后对换这时处在B和C位置上的任意子，结果应当是原来的波函数因为某个因子而改变了。假设B和C处的任意子对换在先，接着对换A和B位置的任意子，如果得到的结果是波函数乘上与前面相同的因子，交换顺序不改变结果，我们就称这些任意子是可交换的。如果因子依对换的顺序而有所不同，那它们就是非交换的任意子。(之所以出现非交换性，是因为对这些任意子而言，乘到波函数上的因子是一个数值矩阵，而两个矩阵相乘的结果依赖于它们相乘的顺序。)
　　戈德曼研究小组做的实验，用的是交换性任意子。不过理论家有充足的理由相信某些分数量子霍尔准粒子确实是非交换的。人们已经提出解决这个问题的一些实验方案。其中一种方案是由弗里德曼和美国马里兰大学学院公园分校的桑卡尔·达斯·萨尔马(Sankar Das Sarma)以及美国微软研究院的舍坦·纳亚克(Chetan Nayak)提出的，以色列魏茨曼研究所的艾迪·凯坦(Ady Stern)和美国哈佛大学的伯特兰·霍尔珀林(Bertrand Halperin)对该方案提出了重要的改进；另一种方案由美国加州理工学院的基塔耶夫、帕尔萨·邦德森(Parsa Bonderson)和基里尔·施坦格尔(Kiril Shtengel)提出。

辫与门
　　一旦有了非交换的任意子，我们就能够为数学上所说的辫群(braid group)构造出一种物理表示。辫群这样一个数学结构描述了把一组给定的绳编成辫的所有可能的方式。任何一种辫都可以通过一连串的基本运算(仅按顺时针或逆时针方向移动相邻两条绳)构造出来。任意子操作每个可能的序列都惟一地对应于一种辫，反之亦然。同时，每种辫都对应着一个非常复杂的矩阵，它是将与每个任意子交换对应的单个矩阵组合起来得到的结果。
　　至此，我们已经掌握了考察这些辫如何对应一个量子计算所需要的全部要素。在传统计算机上，计算机的状态是用它所有比特(0和1按特别顺序排列)的组合状态来表示的。类似地，量子计算机会用它所有量子比特的组合状态来表示。在拓扑量子计算机上，量子比特可以用一组任意子来表示。
　　在量子计算机中，从全体量子比特的初始状态出发，到达终了状态的过程，用一个与全体量子比特的联合波函数相乘的矩阵来描述。在拓扑量子计算机中有着明显的相似之处：在这种情况下，这个矩阵对应于特定辫所确定的任意子的运算序列。这样，我们就知道在任意子上所做的运算实现了量子计算。

　　我们还必须回答另一个重要问题：拓扑量子计算机能完成传统量子计算机上的所有计算吗？弗里德曼与美国印第安纳大学的迈克尔·拉森(Michael Larsen)和王正涵(Zhenghan Wang，音译)合作，于2002年证明拓扑量子计算机的确能够模拟标准量子计算机上的任何计算，不过有一点要声明：模拟只是近似的。然而，对任意给定的期望精度，如10-4，都能找到辫，模拟以该精度完成的计算。要求的精度越高，辫的缠绕次数越多。幸运的是，要求的缠绕次数在数量上增长很慢，因此要达到非常高的精度并不太困难。不过他们给出的证明，并没有指出如何确定与计算对应的辫，实际是怎样的——那取决于拓扑量子计算机的特定设计，特别是用到的任意子种类以及它们与基本量子比特的关系。
　　怎样才能找到执行特定计算的辫？美国佛罗里达州立大学的尼古拉斯·E·博恩斯蒂尔(Nicholas E. Bonesteel)和他的大学同事以及朗讯公司贝尔实验室的合作者解决了这个问题。该研究小组详细展示了如何把六个任意子编成辫，以 2×10－3的精度来构造所谓受控非(或称CNOT)门。CNOT门有两个输入：一个控制比特和一个目标比特。如果控制比特为1, 它把目标比特从0变到1，或是相反。否则就所有比特都不变。任何作用在量子比特上的计算过程都可以用基于CNOT门和另外一个运算(单个量子比特乘以一个复相位)构成的网络来构造。
　　量子计算机可以完成人们相信在经典计算机上无法完成的计算任务。那么拓扑计算机是否有可能比传统的量子计算机计算能力更强？由弗里德曼、基塔耶夫和王正涵所证明的另外一个定理表明，事实并非如此。他们指出在传统量子计算机上能以任意精度模拟拓扑量子计算机上的运算，这意味着拓扑量子计算机能够完成的任何计算任务，传统的量子计算机也能完成。这个结果暗示着一个一般性结论：任何利用量子资源的、足够先进的计算系统都具备完全相同的计算能力。经典计算中的类似命题是在上世纪30年代，由阿隆佐·邱奇(Alonzo Church)和阿兰·图灵(Alan Turing)提出的。

输入粒子 输出答案
　　我们已经简单地提到建造实际拓扑量子计算机的两个关键过程：在计算开始之前对量子比特的初始化和最后阶段对答案的读出。
　　初始化的步骤包括生成准粒子对，并且要弄清得到的准粒子的种类。基本过程是让用于测试的任意子经过所生成的准粒子对周围，然后测量在测试过程中受试任意子发生了怎样的改变。这些改变就取决于经过的任意子的类型。(如果用于测试的任意子被改变了，就再也无法与配对者彻底湮灭。)与我们需要的种类不合的任意子对就会被排除。
　　读出步骤也包含对任意子状态的测量。当任意子离得很远时，我们无法进行测量。为了测量必须把任意子放到一起。粗略地说，就是检查任意子对是像真正的反粒子那样彻底湮灭了，还是留有残余的电荷和磁通量。编辫开始时，任意子对都是精确的反粒子关系，这样就揭示出编辫过程中任意子对的状态发生了怎样的改变。
　　拓扑计算机也不能完全避免差错。差错的主要来源是衬底材料中的热涨落。热涨落能产生出一个多余的任意子对。这两个任意子会将自己编织到计算的辫中，而最终这个对又会消失[参见第19页的方框]。幸运的是，在拓扑计算机运行的低温条件下，热产生的过程会被抑制。而且，整个不利过程发生的几率，随着干扰源经过距离的增加,呈指数衰减。因此，通过建造足够大的计算机，保持工作任意子在被编成辫时离得足够远，我们可以达到任意的精度。

喔喔！慢慢看。{:3ミ

0_0我想起了摩尔定律。。。这东西的辫数量是不是每隔一段时间也要翻几番。。。。话说如果有了拓扑又有了经典量子计算机。。那我们是用拓扑还是用经典- -？

,哈哈好、、

= =坐等亚普朗克黑洞矩阵