一楼防吞，不喜勿喷

本贴目的首先在于提出一个non-political的话题供大家讨论，使得在复习间隙看帖时不会有被某种帖子刷屏的感慨。也不希望师兄弟们之间由于虚无缥缈的某些问题而伤了感情。

前排围观

通常，我们在实际生活中，经常会讨论大与小的问题。比如一个“大”箱子可以装下一个“小”箱子，三块钱能买到的东西“包含于”五块钱能买到的东西。而在数学上，我们把研究的对象抽象成**。相应的，如果我们讨论这些抽象的**的时候，有时候也会碰到“大”与“小”的关系，那么，什么是**的大小呢？
如果**内的元素是有限的，那么**的相对大小可以很显然的确定，比如从size上讲，{1,2}就要比{5}要大——虽然他们并不存在包含关系。但是当**包含无穷多个元素的时候，**的相对大小就比较难以比较了——比如自然数集N和实数集R内元素的相对“大小”就比较难以确定。那么在理论上如何去判断这样**的大小呢？

其实，解决问题的方法很简单，用最基础的“数数”的原理，把N与R中的元素“数”出来就可以了：如果从N中取一个数，都能找到一种规则，使得R中有且仅有一个数与N相对应，那么很显然，N与R就应该有相同的“大小”。比如这样一个例子：N与有理数集Q事实上有同样的大小（size）：将Q中元素的顺序打乱，重新排列成
1
1/2
1/3,2/3
1/4,2/4,3/4
...
去掉值相同的项，并规定数数方式：N中第n个数对应重新排列后的Q中的第n个数，这样一来，Q和N之间就建立了一种关系（即“一一对应的函数关系”）使得任意N中元素都有Q中元素与其对应，即Q与N的“大小”是一样的。

马克

先马

马

但事实上R中元素比N中要多得多——我们只需要说明在区间(0,1)上的元素已经比N中所有元素多就可以了。
为做到这一点，我们先假设存在一种计数方法（存在一个一一对应的函数）使得每取一个(0,1)中的元素，都可以对应一个N中的元素。由于N是自然数集{1,2,3,...,n,...}所以不妨设这个计数方法“数”出来的(0,1)间的实数为{A1,A2,A3,...,An,...},那么每一个An都应该大于0小于1,即An=0.An1 An2 An3,...，Ani为0~9之间的某个数。则此时每一个（0,1）间的数都被表示成某种无穷小数的形式。
那么，这种方法真的可以将（0,1）中的实数完全数出来么？接下来，我们说明这种方法并不能讲(0,1)中的实数完全“数”出来：令b=0.b1 b2 b3 ...
其中，bi=0 当Aii≠0 bi=1 当Aii=0
则此时b≠{A1,A2,A3,...,An,...}中的任何一个，也就是说，上面这种计数方法“遗漏”了一些（0,1）中的实数。而这就是（0,1）比N“大”的最直接的证据

无聊的学长

事实上，我们常常听到老师说实数有“稠密性”这一性质，实数与数轴上的点“一一对应”。但是数轴上的点是无穷多个，有理数也有无穷多个，凭什么有理数就不能跟数轴上的点“一一对应”呢？凭什么就说，有理数之间“有空隙”呢？
通过上面的说明，我想同学们应该可以自己回答这一问题了：相较而言，有理数比实数“少”：有理数最多只与自然数“一样多”，而实数却比自然数“多得多”。而全体自然数（也可以说全体有理数）甚至连（0,1）这一条短短的线段也没法完全覆盖，更不要说与数轴“一一对应”了。

既然知道实数的这些性质，我们就可以纠正一些在同学中广为流传的错误的直觉了。比如很多同学把实数想象成在数轴上的一列点：

虽不知，但觉厉

数学分析第一章的即视感@_@

大力支持原创学术贴！！
顺便问一下有理数跟自然数一样多？？

我来陶冶陶冶数学情操……以祭奠我挂掉的高数……

目测学长接下来要介绍测度论…

0.0好棒啊马克...
我们学校的贴吧都没有这种纯学术讨论的帖子...
二果然不一样么TAT

很有价值。。嗯嗯嗯。。

学长不要弃坑啊…