比如lnx=（x-1）-½(x-1)^2+o(x-1)^2 这个等式成立是在x=1出附近满足
还是对于任意x呢
刚看到有人证明在x趋于无穷证明lnx-x是负无穷 使用泰勒公式将lnx-x展开为x-1-½(x-1)² o(x-1)²-x，从而，x趋于无穷大，极限为负无穷
我觉得这样做法是错的 这样在x=1出展开 x趋于无穷处还相等么 是不是有误差?

在1附近误差小，离1越远，误差越大。taylor公示不是有个误差项嘛，你可以计算看看

泰勒展开当然是对某点展开，如果需要估计误差，写成带拉格朗日余项的形式就行了

定义域上满足

我的另外一个问题是e^x 在0处泰勒展开 1+x+x^2/2!+....+x^n/n! ...
按道理不是说离x越远误差越大么 那为什么在x展开为很多项的时候 x取很大也能近似相等呢
极端情况就是展开成无穷多项 x可以取任何数两边都相等

可以构造(lnx-x)/x由洛法则可判断极限为-1所以|nx-x为负无穷.

泰勒级数在0处展开的 e^X sinx 为什么在x离站开点x=0很远时候等式两边也是成立的呢？
而1/（1-x）的展开式只能在x的绝对值小于1才成立 我也知道收敛半径区间
我只是想从一个角度感受一下这样的差别为什么存在

这要看泰勒级数（包含无穷多项）的收敛半径。e^x=∑x^n/n! 对于任何复数x都成立，因为等式右边的泰勒级数收敛半径是无穷大。然而，ln(1+x)=∑(-x)^n/n 只对于以x=1为圆心半径小于1的圆内的复数才成立，等式右边的泰勒级数收敛半径为1。

楼上的收敛区间我懂的 我的疑问是是不是 比如e^x在x=0出展开 比如展开N项 是应该在x=0附近在近似等于的 而x越大误差越大 那为什么x取到无穷了 误差还是很小呢？还是说展开的N项无穷大抵消了x很大产生的误差

1/e^x²华丽路过

e^x sinx 的0处展开式 应该都是要求在x=附近误差才很小的 可是当展开项数很多时候
x取很大误差也很小

令 S(f,a,N) 表示函数f(x)在x=a点的N项泰勒展开，因此当N有限时S(f,a,N)是一个关于x的N次多项式。对于泰勒展开可以有下面两种理解：
1.（适用于所有光滑函数f）：给定有限的展开项数N, 当x趋于a时，S(f,a,N)收敛于f(a)。所以x越接近a，误差越小，并且误差随x趋于a而趋于0.
2.（仅适用于解析函数f）：给定展开点a，当N趋于无穷时，S(f,a,N)收敛于f(a)。这时当x距离展开点a的距离小于收敛半径时，误差项随着N的增大而减小。
请注意上面两种理解中，谁被固定，谁在变动。

x离a点越远 误差越大 展开项N越大 误差减小 对于收敛半径是无穷大的函数 或者离a点距离小于半径时，展开项增大可以抵消掉因为x离a点远的误差 .

假设你想近似计算f(x+h)值，但是只是知道f在x处所有阶导数的值。那么要看h是否小于x处泰勒级数收敛半径。
如果小于，那么通过增加泰勒展开的项数，可以使得近似值与真实值的误差任意小。
如果h大于收敛半径，那么存在一个最有的展开项数N0，当项数小于等于N0时，增加项数会改进近似值，但当展开项数超过N0时，随着展开项数的增加，反而会使得近似值越来越偏离真实值。


别人的没细看 感觉看别人的说法不一定能理解，说说我的理解。
你说的‘按道理不是说离x越远误差越大么’，确实，但那是说展开到同样次数的情况下，误差大了(换句话说高阶项大了)。
泰勒展开左边是原函数，右边划分为两部分，第一部分展开到n次项，第二部分为高阶
函数高阶无穷小时，原函数和第一部分就无穷接近。比如e^x
即使x较大也没关系，也可以用来求，你说的‘按道理不是说离x越远误差越大么’，确实，但那是说展开到同样次数的情况下，不确定度是递增了(换句话说高阶项的增大了，乘上因子，变化范围就大了)。举个栗子说：由于x增大，不确定度从0.1增大到了0.3，但是我感觉不够精确了，再多展开一项，不确定度立刻又被限制到了0.1以内。
这就好像量一个肉包的直径，用尺子量了之后感觉不够精确，于是你又展开更多项，得到了一个游标卡尺的测量精确度。想要多精确都可以用一定的计算量来得到。这时公式可以帮助我们来求值。
泰勒展开在高阶项不收敛的时候会有什么结果呢？等式是相等没错，但是高阶项你不知道是多少，比如ln4=1.386左右，按照公式x=3带进去展开到3次项，得到ln4=7.5+高阶项
这是有中值定理保证的，高阶项约等于6.114左右，确实在3^4的约束内，但这对我们求值已经没意义了，因为你不知道高阶项是多少，而且随着展开的深入高阶项越来越大 (x^n/n发散)，
这就好像你要量这个肉包的直径，尺子精确度你不满意，又展开了几次之后发现，精确度剩下GPS级的精确度了，越展开越不精确，还时正时负，简直就像大炮打三公里外的蚊子，手动焊cpu一样，精确度比你要的值不知道大多少去了，还测个p，值也没法求了。
最后说一句，中学课本有一幅图，讲sinx分别展开到1～9次项的时候的图像，从正比例函数，到主周期的函数线慢慢贴上，再到第二、第三个周期也慢慢贴上，非常直观。可以推测展开足够次数后，在很远处也能精确符合，有这个念头之后动笔一算很容易知道，高阶项收敛，确实如此，猜测证实。找找课本或者网上查看看有没有，要不然用数学工具画画。看了会对理解有帮助的。

这个问题我也问过 外带了一个例子 就是展开e的x次幂 我用x0=0处写出来 结果带入的x=1 我觉得数轴上1个差距 如果我们的猜测对的话起码会造成实质性误差 但结果是很接近于e 说明这个问题的实战角度上看 是不存在的 但是理论上 我还没发用严谨的数学语言写出来 也没看见什么书写出来

一个函数如果是光滑函数，一定可以在某点处无限可微，那么在该点可以构造一个幂级数，就称之为泰勒级数吧，并且展开的幂级数的形式是唯一确定的，构造的这个幂级数与原函数是有否有关系？这取决于构造的幂级数的收敛半径，可以确定，级数一定是收敛的，有三种收敛形式，1，仅仅在展开点处收敛，2，在实数域内收敛，3，在展开点的邻域内收敛。收敛区间决定构造的级数能够在多大的适用范围内，对原有函数做完全等价的替换，在分析性质上，比如微分，积分，函数值。
如果构造的级数是实数域内收敛，那么该级数在实数域内和原函数严格相等。比如e^x的迈克劳林级数其和函数与e^x，在整个定义域内相等。
对于Cn函数，其一定能在某点处写成泰勒展式，但不是级数，因为是有限项，这个时候，该泰勒展式，只在展开点处与原函数严格相等，换句话，其收敛区间为一个点。
级数可以写成增量形式，如果是Δx位于收敛区间内，那么Δy通过求级数可以精确获得，如果取有限项，那么误差由级数余项确定。如果Δx位于收敛区间外，这个时候泰勒级数是不收敛的，取有限项可以近似计算增量，超过一个N之后，可能取的项越多，误差越大。不过这种情形下，用泰勒级数分析局域的性质应该是不合适的。