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2012年08月28日 01点08分
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杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 2、第n行的数字有n项。 3、第n行数字和为2^(n-1)。（2的(n-1)次方） 4、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质
性质4的公式表述之一 5、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。（公式见右图） 6、第n行的m个数可表示为C(n,m-1)（n下标，m-1上标），即为从n个不同 
杨辉三角的组合数表示元素中取m-1个元素的组合数。（见右图） 组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!] 7、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。[1] 8、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第4n+2个斐波那契数。 编辑本段历史 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。 
杨辉三角 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。 在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。 近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle） 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家 ·贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 ·杨辉 中国南宋1261《详解九章算法》记载之功 ·朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式 ·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》 ·阿皮亚纳斯德国 1527 ·施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数 ·薛贝尔 法国 1545 ·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先
的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 编辑本段应用 性质6和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。
杨辉三角的图算 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数， 即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2 第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数 即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 以此类推。 又因为性质6：第n行的m个数可表示为C(n,m-1)，即为从n个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
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