61*X^2+1=Y^2 （X,Y是自然数）求最小的X和Y

(y+1)(y-1)是61的倍数

那Y=60也不行啊，59*61是61的倍数。。。倍数本身还要是完全平方数啊

题目有问题61*X^2+Y^2=-1

不好意思看错!!

等价于求Ｚ[sqrt{-61}]的单位群看看代数数论的书应该有的．．．

x=0,y=1

楼上,X,Y是自然数

X,Y是自然数

0是自然数?

0是自然数。

0不是自然数，否则我问这道题就没有意义了……

佩尔方程的求解好像只有枚举的

从书上查的最小解x=226153980y=1766319049

0是自然数。

正整数解，我只会穷举。

这怎么算出来的啊？

不能说是穷举吧有技巧的,用连分数法

等我一会儿打出来

佩尔方程x²-dy²=N，其中d是给定的正整数其实很多二次不定方程都可以转化为该形方程而解出。先考虑N=1的情形。解法有2种，对所有非平方数d，展开成连分数都有这样的形式　　　 .　　　 　 　 .√d=[n,a1,a2,……,a2,a1]其中n是√d的整数部分，设循环部分长度为k，把[n,a1,a2,……,a2,a1]化简成分数x/y，则x²-dy²=(-1)^k，且(x,y)是最小解。例如d=3时，√3=[1,1,2,1,2……]，令x/y=[1,1]=2/1，而2²-3×1²=(-1)²=1。再如d=13,√13=[3,1,1,1,1,6……]，[3,1,1,1,1]=18/5，则18²-13×5²=(-1)^5=-1，即(18-5√13)(18+5√13)=-1，把等式两边平方就得到(649-180√13)(649+180√13)=1(对这里存疑一下，我没有证明出）这就是用连分数求佩尔方程最小解的办法。那么就不用穷举了，仅仅是计算量的问题了