古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。这是第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论 （一）由自指引发的悖论 以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。 １－１ 谎言者悖论 公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。 《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。 人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是： １－２ “我在说谎” 如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版： １－３ “这句话是错的” 这类悖论的一个标准形式是：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。 哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在１９０３年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。” 他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上） 罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“１９０３年和１９０４年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上） 《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。 １－４ 理发师悖论 在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。 这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然

芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在Ｔ时追上了乌龟，那么，“这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。 他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运动佯谬： ２－３ “飞矢不动” 在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是运动？中国古代也有类似的说法，如： ２－４ “飞鸟之景，未尝动也” 这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。 德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么“不合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾。 尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动，它完全没有移位，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。 换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没有运动。最后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析： 假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念！ 假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点！ 假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念！ 尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空间，就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对的多样性，就不会有统一性。 事实上，这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一，今天都已经得到了完美的解决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由于没有巩固的理论基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。 可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。 ２－５ “一尺之捶，日取其半，万世不竭” 这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。 战国名家宋国人惠施（约公元前３７０－前３１０）曾任梁国的宰相，论辩奇才，是庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。 惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关的奇怪命题，例如，“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不

生出来的。”单独来看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的假设。 ５－７“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？” 这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”， 说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。 这个“全能者悖论”的另一种表达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更 了不起的事物吗？” ５－８“你会杀掉我” 这个故事有几个版本。大意是说：一夥强盗抓住了一个商人，强盗头目对商人 说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就把你放了；如果说错了，我就杀掉 你。”商人一想，说：“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。 推理一下：如果强盗把商人杀了，他的话无疑是对的，应该放人；如果放人， 商人的话就是错的，应该杀掉，又回到前面的推理，这是一个悖论。聪明的商人找 到的答案使强盗的前提互不相容。 ５－９“你会吃掉我的孩子” 这个例子与上面的例子逻辑同构。 一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答 对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案：“你会 吃掉我的孩子。” ５－１０两小儿辩日 这是《列子》里的一则预言：孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“日出时， 太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。 这不正是近大远小吗？”另一个却说：“日出时，太阳距离我们远，中午距离我们 近。因为日出时我们不觉得热，中午却非常热。这不是近热远凉吗？”孔子不能答。 这是今天的一个科学常识问题，但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看，这 里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前，应该搞清楚 哪个标准更准确，或者都不准确。 ５－１１爱瓦梯尔应不应该付学费？ 传说古希腊人爱瓦梯尔（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）向普洛太哥拉斯学习辩术（另 有一说是学习法律）。他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成 后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再交。 但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算交另一半学费。 普洛太哥拉斯准备告他，说：“如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我 败诉，根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说：“如果我胜 诉，法官也会判我不付学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半的学费。总 之不付。”（见王九逵《逻辑与数学思维》） 这个问题反过来看，逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说：“如果你告我， 我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去 不可能有结果。 这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解 决他们的纠纷，这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一 个进行最终裁决。 ５－１２梵学者的“预言” 和上面的例子完全类似，这是一个梵学者（印度的预言家）的女儿用悖论来为 难她的父亲的故事。 女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说：纸上写的可能发生， 也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”，反之就写“不”。 梵学者写下他的预言“是”，女儿拿出水晶球下面的纸，念到：“你将写一个 ‘不’字。”学者错了。实际上，他写个“不”字，也会错，因为预言已经发生了。 女儿的“不”有两重含义，它一方面与字面上的“是”相反，另一方面与实际 上的“不”相反，双重标准。由于没有事先界定，梵学者也可以反过来和他的女儿 作无限的争论。 （六）由权变遭遇的悖论 ６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖论 

下面两个式代表你将获得的收入，Ｘ是一个不定的量，你将选择哪一个，Ｓ１ 还是Ｓ２？ （１）Ｓ１＝０·９Ｘ＋＄１００，０００ （２）Ｓ２＝０·８９Ｘ＋＄２５０，０００ 显然，最好的选择取决于Ｘ是多少。 当Ｘ＝＄１５，０００，０００，Ｓ１＝Ｓ２＝＄１３，６００，０００ 当Ｘ〉＄１５，０００，０００，Ｓ１〉Ｓ２ 当Ｘ〈＄１５，０００，０００，Ｓ１〈Ｓ２ 这个悖论对决策理论有较大影响。 ６－２纽卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖论 这也是决策理论中的一个。有两个盒子Ａ和Ｂ放在桌子上： Ａ是透明的，可以看见里面有＄１，０００， Ｂ是不透明的，上面写着或者是＄１，０００，０００，或者是０。 你可以在下面的两种选择中，只能取一个（１）或（２）： （１）只选择Ｂ （２）Ａ和Ｂ两个都选 你会作出什么选择？ 有一个教授曾经作过一个实验：他让１０００个学生选，其中９９９个学生选 择了（１），只有１个学生选择了（２）。而这９９９个学生一人只获得＄１，０ ００，而那１个学生却获得了＄１，０００，０００。为什么呢？因为这个教授事 先已经作了预测，并作出这样的安排： 如果选（２）Ｂ盒子里就不放任何一分钱， 如果选择（１）Ｂ盒子里就放＄１，０００，０００。 而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果，重新再 选，会选哪一项。注意，这一回，教授可能又作出了新的预测。 ６－３谷“堆”的定义 如果１粒谷子落地不能形成谷堆，２粒谷子落地不能形成谷堆，３粒谷子落地 也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。 从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义 “堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累 中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一 个模糊的“类”。 这是连锁（Ｓｏｒｉｔｅｓ）悖论中的一个例子，归功于古希腊人Ｅｕｂｕｌｉ ｄｅｓ，后来的怀疑论者不承认它是知识。“ｓｏｒｏｓ”在希腊语里就是“堆” 的意思。最初是一个游戏：你可以把１粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把２粒谷 子说成是堆吗？不能；你可以把３粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一 个谷堆的存在，你从哪里区分他们？ 它的逻辑结构： １粒谷子不是堆， 如果１粒谷子不是堆，那么，２粒谷子也不是堆； 如果２粒谷子不是堆，那么，３粒谷子也不是堆； －－－ 如果９９９９９粒谷子不是堆，那么，１０００００粒谷子也不是堆； －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 因此，１０００００粒谷子不是堆。 按照这个结构，无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的 话题（见《不列颠百科全书》）。 ６－４秃头的定义 这也是连锁悖论中的一例，和上面的游戏完全一样。最早叫Ｆａｌａｋｒｏｓ 谜： 你可以把只有１根头发的叫秃头吗？能；你可以把只有２根头发的叫秃头吗？ 能；你可以把只有３根头发的叫秃头吗？也能。但是你不会把有一万根头发的人 叫秃头。你从哪里区分他们？ ６－４“一整袋谷子落地没有响声” 在古希腊，还流传着这样一个故事：如果１粒谷子落地没有响声，２粒谷子、 ３粒谷子落地也没有响声，类推下去，１整袋谷子落地也不会有响声。 响声是由振动引起的，１粒谷子落地可能引起的振动太小，人耳听不到，但是 用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大，人耳自然就可以听得到了。 应该注意，古希腊辩论家的用意不在于此，他们并不是真的要探讨事实，而是 试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系 

列，那么其间也会有一个变化的模糊区域。 ６－５预料之外的绞刑时间 这个悖论在英语里叫“Ｐａｒａｄｏｘ ｏｆ ｔｈｅ Ｕｎｅｘｐｅｃｔｅｄ Ｈａｎｇｉｎｇ”；最早从口头传开是在本世纪四十年代。 一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“绞刑时间将在下一周七天中的某一天 中午进行，但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道：“我 将不可能在下个星期六赴刑，这是最后一天。因为星期五下午我还活着，那么我知 道星期六中午我一定被处死。但是，但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推 理，他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此，法 官的判决将无法执行。 这种连锁悖论式的推理并不难理解，法官的判决可以在下个星期六以外的任何 一天被执行，囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论 的结构完全一致。 ６－６“卵有毛” 惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛，惠施却反对。 辩者说：“如果鸡蛋里没毛，那么孵出来的小鸡怎么身上有毛？”惠施说：“ 鸡蛋里只有蛋清和蛋黄，没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了？小鸡身上的 毛是小鸡身上的毛，不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。 辩论双方都以“眼见为实”做标准，从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。 不知道生物学对此会作出什么解释，从方法上来讲，他们没有界定毛从无到有的界 限，似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。 ６－７宝塔从有到无 这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔，如果从下面抽走它的砖，一 块一块地抽，这是量变。当到达一定的度时，宝塔倒塌了，发生了质变，说明宝塔 没有了。我们可以看到一准确的“度”。 但是现在从上面拿走它的砖，一块一块地抽，这也是量变。直到拿完，宝塔不 存在了，发生了质变，但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度” 了。 ６－８孪生子佯谬 这是一个与相对论有关的悖论（Ｔｗｉｎ Ｐａｒａｄｏｘ）。 爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律，用Ｃ表示恒定的真空光速，把它 纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定，引出了相对论 的两个著名的“佯谬”，它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。 “孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得 慢。根据这一结论，我们可以得出这样的一个结果：一个乘飞船按接近光速的速度 在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因 为他的生物钟，比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光 速的速度。 在１９０５年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿定律是速度远远小于光 速条件下的定律，机械自然观统驭着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。爱 因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的，它取缔了牛顿“绝对时间”的概念，使 “绝对运动”概念也失去了立足之地。 ６－９“会变的尺” 这是相对论引出的另一个“佯谬”：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相 比，在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的，后来形成 了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着 的相对速度来解释（见聂运伟编著的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。 ６－１０夜空为什么是暗的？ 这是有名的奥伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，Ｈｅｉｎｒｉｃｈ Ｗｉｌｌｈｅｌｍ） 悖论：如果空间无限延展，而且星体均匀分布，我们的任何视线都应该碰到起码一 颗星球。那么，天空不是应该一直都是明亮的吗？这个结论显然与事实不符。 这个问题早在１６１０年开普勒就注意到，直到１８２３年德国天文学家奥伯 斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测，如宇宙只有有限的星体、星 体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少，遥远的光还没有到达地球等等。“大 爆炸”理论出现以后，宇宙的年龄不是无限的，被人为是一个最重要的原因。从“ 大爆炸”开始算起，宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将 光充满夜空（《星期日电讯》１９９７年１０月５日）。 后记 本文所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学 的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成 果将极大地改变我们的思维观念。本文罗列的悖论解释多为一管之见，错误难免， 希望读者批评指正。