1L喂度娘

昨晚有吧友 @giggle2005 从数学吧转来了一道数列题。
我看了一下 确实很有难度。三阶非线性递推数列，特点是各项同性。
有点类似一元二次方程的递推公式。
原帖地址：https://tieba.baidu.com/p/1309938296 (数学吧原帖)
https://tieba.baidu.com/p/1310293894 (本吧转帖)
原帖出题者的题目中出现了笔误，现已经经数学吧友改正。下面是
正确的
题目：


，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
下面给出本题的解答。
第一种是我原创的解法：


第二种是来自 @tian27546西西 的解法：
(未经允许私自使用了其解法的图片，在此先道声歉。不过也十分感谢tian27546西西同学的解答。)
有一点需要指出的是：他的这个解法在最后出现了笔误：极限值应为(√5-1)/2，而非(1+√5)/2.(由于这两个数互为倒数，不排除马虎或者看错了的可能性)
上图


都是大神

下面是我个人的分析：
这道题确实很有难度。因为该数列的递推公式是三阶的递推，而且完全是非线性。
咋一看似乎没有什么解决办法。
但是，它阶数高、非线性不意味着它就不能做解。事实上它有一个很独特的性质就是
对各阶是各向同性的(1L有错别字，“项”应为“向”)，换句话说三项对称可以互换。
由于阶数为3阶，次数为2次，所以在递推的过程中就会有A(n-2)和A(n+1)换位，而其他
均未变的现象。这容易使人联想到一元二次方程的同解方程。通过这个切入点，我们就能
将递推公式化简。
应用韦达定理化简后的递推公式有两个，这两个其实可以任选。注意到第二个的形式更为
简单，而且与余弦函数的和差化积公式类似。但是该数列是单调递增数列(我前面居然
忘记说这个条件了，orz)所以cos不一定管用。因此我就想到了单调递增的双曲余弦函数
cosh。它同样满足和差化积公式。因此借着双曲代换，就能将数列转化为角数列，
化非线性为线性。
很幸运的是，做代换后的角数列是一个Fibonacci数列，只是初值有所变化。
因此角数列的通项公式求出来后，整个第一问也就迎刃而解了。
(虽说解出来了，但是通项公式依然很复杂。这是很正常的)
第二问，这个条件给的很活。abc并没有给出确定值。但它却从某种程度上
提示了数列{An}的通项公式形式。而且点明了底数是无理数的事实。
以这种形式给出的无理数其实就是在说黄金分割数0.618.但是由于它未明说，
所以以e为底数也是完全可以的。最后bn的相邻项比值的极限其实就是Fibonacci数列的
相邻项比值的极限。第二问也就解答完毕了。

theta(n) 递推式怎么得到的，或者说 cosh 是怎么去掉的？

做了An=2cosh(θn)的代换以后，代入递推式，整理后得到与和差化积公式一模一样的
形式，因此可以判定角θn的数列呈线性关系。这两个线性关系相加就能得到与Fibonacci
数列相同的递推关系式，此即将非线性数列转化为线性的角数列。
这里有个问题，就是和差化积公式并非是充分必要的。这个问题我昨天也想过，后来我
的出的解决办法就是“试验”的办法：
这个递推式可能得到的通项公式非常多。但只有符合和差化积公式的形式的有规律，
能写出通项公式。而其他的都处在一种“混沌”状态。我所能做的就是看它的通项公式
是否也符合第一个递推公式。如果两个都符合，就说明这个通项公式是符合基本题设的。
这样就不存在逻辑上的缺陷了。
而事实上，这个通项公式是完全符合这两个递推公式的。这并非是巧合。进一步地说，
第一个递推公式正是cosh函数的独有性质。也就是是说这两个递推公式都满足cosh函数
的和差化积公式(第一个应该算是和差的积化为平方的公式，暂且先这么命名)。因此
虽然和差化积公式并不是充分必要的，但是这里在逻辑上也不存在问题。这也是我之前
会说“这两个递推公式可以任选”的原因。

这个数列{An}要求是单调递增数列。
这是个必不可少的条件。之前忘记说了，后来我在分析中提到(orz)
在这里有必要再次强调一下。

还是觉得有逻辑上的问题，从带 cosh 的式子是怎么把 cosh 去掉的

最开始做的是cosh代换，即是令An=2cosh(θn).这样求An就转化为了求θn。
再通过和差化积公式中角之间的关系求的θn的递推公式。
这不是把cosh去掉，而是利用cosh的和差化积公式公式反推角θn的递推公式。
我之前说过，这个反推的过程不是充分必要的。但是它确实满足递推，因此这里就不存在逻辑上的问题了。

我明白了，所以你是用到了数列是唯一确定了的。然后凑了一个式子刚好是一种满足递推的方式。
如果这题不给初值条件，要求通解，这样就不行了吧。

我想你可能还是没有完全理解……
首先，数列并不是唯一确定的。(但是在这道题里可以这么认定，因为这个一元二次方程
必定有两不等实根)
再就是，这么构造的原因就是因为cosh能够满足上面利用韦达公式得到的两个递推公式。
实际上当初我只用了第二个，因为它与和差化积公式非常相似。但是光是这样还不够。
推出的通项公式必须两个递推公式都满足才可以，而事实确实如此。因此它就不存在
逻辑问题了。
如果你说这是一种“凑”的办法，也确实无可厚非。因为对于这种高阶非线性的递推，我们
没办法做迭代，因此也就没办法作出单向的推导。我们只能构造其他的一些东西去满足
递推，从而获得满足原始题设的一个(注意是一个)通项公式。从这个层面上来说，第二种
解法也是一种“凑”的办法。方法不相同，得到的通项公式也可能不相同。虽然它们
都表示的是同一个数列。
如果您能再深入理解下我的方法，就能发现An的初值只影响θn的初值。换句话说，只要
递推式不变，这个构造模型就不会出错。再具体点说，An的初值只影响到了θn中那两个
幂的系数。也就是那个cosh^-1(47/2)/√5.而这个系数的求法和二阶线性递推数列的特
征方程法中求系数的方法完全一样。只是需要将An的初值变换为θn的初值，也就是θn=
arccosh(An/2).因此这题求通解依然可以套用这个构造模型。


不是，我的问题不在 cosh theta[n] 的换元上，cosh 的值域是 (1,+inf) 你总可以换元的。
我的问题在你去掉 cosh 直接得出 theta[n] 的递推上，这里你凭什么能去掉。
你怎么能够说，如果有一个数列满足(*)：
cosh theta[n-2] + cosh theta[n+1] = 2 cosh theta[n-1] cosh theta[n]
他就一定满足(#)：
2theta[n]=theta[n+1] + theta[n-2]
2theta[n-1]=theta[n+1] - theta[n-2]
如果这里不是充要的，那么有没有可能一个数列满足(*)但是不满足(#) 从而你得到的只是一部分的通解？

我在9L回答的正是这个问题。
我说过了，这个和差化积公式确实不是充分必要的。就是说已知道
cosh theta[n-2] + cosh theta[n+1] = 2 cosh theta[n-1] cosh theta[n]
不一定能推出角的关系就是
2theta[n]=theta[n+1] + theta[n-2]
2theta[n-1]=theta[n+1] - theta[n-2]
这个在逻辑上确实说不通。
但是反过来说，这个角的关系确实是能满足这个递推式的，因此它可以作为满足
第二个递推式的一个通项公式。
但是，我通过韦达定理(15L手滑打成公式了囧)得到的是两个递推式。上面的做法只
满足第二个。而只有两个都满足才能说这个通项公式满足题意。所以我给出的解决办法
就是推出的的第二个通项公式反代第一个递推式，看是否满足。(实际上重点在于在cosh
的构造下，这个角的关系是否也满足第一个递推式)事实确实如此。因此我推出的通项
公式是可以满足题设的。这里应该说就是“曲线救国”的方案解决了逻辑上的问题。
说句实在话，这种不按套路来的非线性数列题想给出一个严格符合逻辑的解答是相当困难
，甚至现阶段不可能的。因此我们能做的也就是给出有效的一个解。这个解的唯一性只能
通过对递推式的证明得出，而很难在求解过程中证明其充分必要性。


那么我们把另一个递推也加入到(*)式子里，
现在你能不能断言说(*)式和(#)式是等价的呢？
你的验证，只是验证你推理出来的东西是符合递推的，这我相信。
我怀疑的是，符合递推的是否一定，必须满足你推出的式子。

你应该明白我的意思了吧，
A ={全体满足(*)的数列}
B ={全体满足(#)的数列}
如果 B 是 A 的真子集，那么你的解法就有漏网之鱼了。

我当然明白，而且这个问题我在9L说过了。
我现在知道*，还知道
#满足*，但是我不知道*是否只能推出#
。
如果#是*的真子集的话，那么就是漏网之鱼。
我在9L说的意思就是：满足*的可能不止#一种。但是有已知的确定规律的就是#，
其他的都属于“混沌”状态，目前不可知。如果这个除#以外的￥(暂且这么定吧)
也符合题设的话，那么经由它也可以得到另外一个符合题设的通项公式。
但是问题是，通过题设我能够知道{An}是唯一的。因为一元二次方程最多有两个解，
一大一小。小的必须在前，大的必须在后。这就确定了数列{An}的唯一性.这就好比
先证明唯一，然后给出一个符合条件的解，此时这个解的充分必要性就确定了。
我从来都没有想过去直接证明*和#的充要性。而是借由{An}的唯一性间接证明了不存在
这样的￥(如果有也是￥=#)。
当然，如果我无法确定数列{An}的唯一性，那么这个方法就只能给出一个可行的解了。

我觉得，事实上，是没有漏网之鱼的。

对啊 这一点是经由数列An的唯一性证明的 所以我说是“曲线救国”