古堡朝圣问题 　　传说，从前有一个小孩，他家住在A处，他外婆住在河的同一侧的B处。小孩非常孝顺，每天上学前都要到河边提一桶水送给外婆。天天如此，他就想，到河边的哪一点去取水，所走的路程最短？如果能找到这条最短的路，既可以节约时间，又可以少费些力气。 　　这个问题可以这样解决：先把河岸近似看成直线。由A点向河岸引垂线AM点，在所引的垂线上截AM=MA'，连A'B交DE于C，则C为所求的取水的位置。现在证明AC+BC是符合条件的最短路程。 　　证明：假如还有一点C',连接AC', BC'。　　 　　由作法中可知DM是AA'的中垂线，因此AC'=A'C',AC=A'C。 在ΔA'C'B中，A'B
AP+BP.另一方面，RP'+AP'>AR.所以AP'+BP'=AP'+RP'+RB>AR+BR>AP+BP。 设圆O为单位圆,建立坐标系使A为(0,b),B为(c,d),设P为(x,y),根据上面的讨论,要令∠APO=∠BPO,由余弦定理, (AP²+OP²-OA²)/(2AP*OP)=(BP²+OP²-OA²)/(2BP*OP),注意到OP=1,把式子平方,再把相关坐标代入得到一复杂的方程，再因式分解得 (-bc+yc+bx-dx)(-bx3-dx3+bcx2+cyx2-by2x-dy2x+2bdyx+cy3-bcy2)=0，这一步实在是难以想象的。（这里有些是3次方，2次方，自己细心看出） 我们还要它和x2+y2=1构成方程组的，把第二个因式的x的高次项换成y，即x2=1-y2，x3=x(1-y2)，代入再作整理得 (-bc+yc+bx-dx)(-2bcy2+cy+2bdxy+bc-bx-dx)=0这个方程和单位圆的交点就是解了。 第一个因式是一条直线，第二个因式是双曲线，实在无奈，此双曲线与单位圆的交点是一个4次方程。 而其中直线与圆很少有交点的，从图象看，大部分交点都不合题意的，此题的答案只会有一个。 应该用到较深奥的理论去讨论能否由尺规作出。不过我N年前查了一个网页，说道那方程的根不能尺规作出的，但没说明。 参考一下吧。我也觉得不能作出的。

一元三次方程的解法在ax3+bx2+cx+d=0中，两边除以a，并令x=y-(b/3a)代入得 y3+py+q=0 ，其中p=(3ac-b2)/(3a2)，q=(2b-9abc+27a2d)/(27a3) 上方程有两种方法解， 第一种，令y=z-(p/3z)代入，得y6+qy3-(p/3)3=0 这其实是一条2次方程，容易求出y3,进而求得x。 　 第二种，设y=A+B，则y3=A3+B3
+3
AB(A+B)=A3+B3+3ABy 即y3-3ABy-(A3+B3)=0，与原方程对比系数得 -3AB=p，-(A3+B3)=q 整理一下，A3B3= -(p/3)3，A3+B3=-q 这是关于A3B3的二元二次方程组，解出A3任取一根，再通过开立方可以获得3个根。 　　 —————================ 3／ q ／q p A= √ - — + √ (—)^2 + (—)^3 m 2 2 3 _ -1±√3 其中m3=1即m= ————或1 2 由B=-p/(3A)得 　　 —————================ 3／ q ／q p B= √ - — - √ (—)^2 + (—)^3 m^2 2 2 3 最后y=A+B再入x。我整理三次方程求根公式如下 3／------================== 3／------================== 3ax = √ q + √ q^2 +(3ac-b^2)^3 m + √ q - √ q^2 +(3ac-b^2)^3 m^2 -b 其中q=(9abc-2b3 -27a2d)/2 _ -1±√3 其中m3=1即m= ————或1 2

...还是给连接吧,符号都变形了-_-#

欢迎KeyTo9本人提供好帖！

嗯~~值得研究！