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第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式及其应用 第四节 对面积的曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分 第六节 高斯公式
2006年08月25日 03点08分
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第一节 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质1.引例——求分布不均匀的曲线形构件的质量 假设物体为空间曲线L（端点为A和B），在L上任一点 处的线密度为，求此曲线弧构件的质量为
2006年08月25日 04点08分
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2. 弧长的曲线积分的定义 定义 设为一条空间光滑曲线弧,函数在 L上有界.在L上任意插入一点列把L 分成个小段，设第 个小段的长为，在此小弧段上任取一点并作和若不论L的分法及在上的取法如何，只要 ，上述和式恒趋于同一极限，则称此极限为函数 在曲线L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作
2006年08月25日 04点08分
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说明： （1） 根据这个定义，前述曲线构件的质量等于线密度在曲线L 上对弧长的曲线积分，即 ． （2）可以证明，如果函数在光滑曲线L 上连续，则在L 上对弧长的曲线积分一定存在． （3）当曲线为xOy 面上的平面曲线L 时，被积函数是定义在L上的二元函数 ，此时对弧长的曲线积分为
2006年08月25日 04点08分
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3. 弧长的曲线积分的性质 性质1 设 α、β为常数,则
2006年08月25日 04点08分
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性质2 若积分弧段 可分成两段光滑曲线弧 和 ，则
2006年08月25日 04点08分
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性质3 设在L 上 ，f(x,y,z)≤g(x,y,z)则
2006年08月25日 04点08分
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例一 计算 ∫√yds ,其中L是抛物线y=x^2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.解 由于L由方程y=x^2(0≤x≤1)给出因此∫√yds=∫(0,1)√(x^2)·√[1+(x^2)'^2]dx=∫(0,1)x√(1+4x^2)dx=[1/12(1+4x^2)^3/2](0,1)=(1/12)(5√5-1)
2006年08月26日 08点08分
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例二 计算曲线积分∫(x^2+y^2+z^2)ds,其中Γ为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到2π的一段弧.解 ∫(0,2π)[(acost)^2+(asint)^2+(kt)^2]·√[(-asint)^2+(acost)^2+(k)^2]dt=∫(0,2π)(a^2+k^2t^2)√(a^2+k^2)dt=√(a^2+k^2)[a^2+(k^2/3)t^3](0,2π)=(2/3π)*√(a^2+k^2)*(3a^2+4π^2k^2)
2006年08月26日 09点08分
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第二节 对坐标的曲线积分 对坐标积分的计算法定理 设P(x,y)、Q(x,y)在有向线弧L上有定义且连续，L的参数方程为┌x=φ（t）└y=ψ(t)当参数t单调地由α变到β时，点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B,φ（t）、ψ(t)在以α、β为端点的闭区间上具有一阶连续偏导，且φ'（t）^2＋ψ'(t)^2≠0,则曲线积分∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy存在,且∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(α,β){P[φ（t）,ψ(t)]φ'（t)+Q[φ（t）,ψ(t)]ψ'(t)}dt
2006年08月28日 06点08分
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注意:下限α对应于L的起点,上限β对应于L的终点,α不一定小于β.
2006年08月28日 06点08分
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例一 计算∫(L)xydx,其中L为抛物线y^2=x上从点A(1,-1)到点B(1,1)的一段弧
2006年08月28日 07点08分
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