这是我看一个网上的问题突然想到的，也就是，正方形网格里任意选一个n*n网格，n∈Ｎ，上面有(n+1)²个点，试问，这(n+1)²个点最多能连出多少个正方形
n=0时，只有一个点，连不出正方形，0个
n=1时，这四个点刚好组成一个正方形，1个
n=2时，9个点组成3*3点阵，连出4个小，1个大，还有一个斜着的，总共6个
n=3时，14个正着的，斜着的4+2=6个，总共20个
n=4时，正着的30个，然后算斜着的，10个斜45度的，还有10个特殊的，50个
n=5时，正着的55个，斜着的16+4+18+8+2+2=50个，总共105个
我在网上查了一下这个数列，发现符合n(n+1)²(n+2)/12的规律，但我不知道这究竟是怎么来的，试问如何证明

对于没有倾斜的
边长为c的有（n-c+1）²个
对于倾斜的
对每个没有倾斜的边长为c的正方形里
有c-1个外接这个正方形的倾斜正方形
所以每个边长为c没有倾斜的正方形对应自身加上倾斜的c-1个正方形，一共就是c个
那也就是c（n-c+1）²求和，从c=1到c=n
就是令n-c+1=k，也就是k²（n-k+1）求和
就是一个平方求和一个立方求和，最后结果就是那个了

大学学数学专业，你就知道了。不过是泰勒级数的特殊形式而已

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任何一个正方形总可以唯一地嵌入一个横平竖直的正方形框上，使得正方形的四个顶点都在这个框的边界上.
m*m（边长为m）的框共有(n-m+1)^2个，每个这种框内可以嵌入m个小正方形。
求和∑m*(n-m+1)^2即可。