鉴于本班是奥数班，所以本班的吧也因该有根与数学有关的东西，所以本人就强先发一个供有兴趣的同学看。

“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。 　　悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。 　　著名的《科学美国人》杂志社编的《数学悖论奇景》中，有不少生动而奇妙的题目，下面几则便选自其中。有的题目作了简略的分析，有的只提出问题，留侍读者去思索。

1.唐·吉诃德悖论 　　小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。 　　一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。” 　　旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！ 　　 2.梵学者的预言 　　一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。 　　苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。 　　学者：我肯定能。 　　苏椰：不，你不能。我现在就可以证明它！ 　　苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说： 　　“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？” 　　“好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。 　 3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。” 　　学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。 　　苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。” 　　 3.意想不到的老虎 　　公主要和迈克结婚，国王提出一个条件： 　　“我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。” 　　迈克看着这些门，对自己说道： 　　“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。” 　　“五被排除了，所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理，老虎也不会在最后一个房间——第四间内。” 　　按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满怀信心地去看门。使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。 　　迈克的推理并没有错，但他失败了。老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。 　　 4.钱包游戏 　　史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。” 　　学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。” 同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。 　　请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢？

5.一块钱哪儿去了？ 　　一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。 　　第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。 　　这一块钱到哪儿去了呢？ 　　6.惊人的编码 　　外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。 　　赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。” 　　基塔：“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了！ 　　基塔先生是怎样做到的呢？ 　　基塔：“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一词就编为3－0－1－0－22。我用高级袖珍计算机快速扫描，就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如0.2015015011…… 　　基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a／b刚好等于上面那个十进制分数值。 　　基塔：“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全书就被破译出来了。” 　　这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！ 　　7.不可逃遁的点 　　帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。 　　克莱因：“帕特，你可曾知道你今天
下山
时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？” 　　帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。” 　　克莱因：“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。……” 　　帕特明白了。你明白了吗？ 　　8.橡皮绳上的蠕虫 　　橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？ 　　乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到：随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。 　　如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）： 　　当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。 　　9.棘手的电灯 　　一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。 　　那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！

数的“金蝉出壳”法 　　数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。 　　通俗性与公证性是数论的两大特点，。这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。这就像磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。

数趣 　　“数字是万物之本”，数字学家毕达哥拉斯的这句话常常被人引证。甚至对于“什么是朋友”这样的问题，他也可用数字加以回答：“朋友就是你的另一个我，其关系就如220和284。”

友好数对 　　该数对的神秘在于：所有该数的整除数之和（包括1，但不包括该数本身）等于另一个数。220的整除数之和为1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284，284的整除数之和为1＋2＋4＋71＋142=220。有1800年之久，人们只知道这一数对是“友好”数对。直至1636年，业余数学家皮勒才成功地发现了第二数对：17296和18416。今天，数学家已发现了1200对这样的数对，其中最大的一对是111448537712和1
18853793424
。 　　正如美国数学家诺伯特·维纳尔所指出的“数字是真理的源泉”，“但数字更多的是将人们引入超现实的境地。”

神奇的“缺8数” 　　“缺8数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。

清一色 　　菲律宾前总统马科斯偏好的数字不是8，却是7。于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜欢7吗？拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。”接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿时，777777777映入了马科斯先生的眼帘。 　　“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都“一视同仁”的：你只要分别用9的倍数（9,18……直到81）去乘它，则111111111,222222222……直到999999999都会相继出现。 　　三位一体 　　“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如： 　　12345679×12=148148148 　　12345679×
15=18518518
5 　　12345679×57=703703703 　　轮流“休息” 　　当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。 　　让我们看一下乘数在区间[10—17]的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。 　　12345679×10＝123456790（缺8） 　　12345679×11＝135802469（缺7） 　　12345679×13＝160493827（缺5） 　　12345679×14＝172839506（缺4） 　　12345679×16＝197530864（缺2） 　　12345679×17＝209876543（缺1） 　　乘数在[19—26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。 　　乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！ 　　一以贯之 　　当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。随便看几个例子： 　　（1）乘数为9的倍数 　　12345679×243＝2999999997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。 　　（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数 　　12345679×84＝1037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。 　　（3）乘数为3K＋1或3K＋2型 　　12345679×98＝1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2，但据上所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。 　　走马灯 　　冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变，表现为周期性的重复。“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。 　　实际上，当乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。深入的研究显示，当乘数为一公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。例如： 　　12345679×28＝345679012 　　12345679×37＝456790123 　　回文结对 携手同行 　　“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到： 　　12345679×4＝49382716 　　12345679×5＝61728395 　　前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数？（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。）这样的“回文结对，携手并进”现象，对13，14；22，23；31，32；40，41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如： 　　12345679×67＝827160493 　　12345679×68＝839506172

（接上） 遗传因子 　　“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特性，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。 　　例如50672839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。 　　我们看到，506172839×3＝1518518517。 　　如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。 　　追本穷源 　　“缺8数”实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为 　　1/81＝0.012345679。 　　在0.012345679中，为什么别的数码都不缺，应有尽有，而唯独缺少8呢？ 　　我们看到，1/81＝1/9×1/9。 　　把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9＝0.1。 　　如果你不怕麻烦，当然也可把它看成是0.1111……直到无穷。 　　无穷多个1的自乘，能办得到吗？不妨先从有限个1的平方来试试看。 　　很明显：11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方=12345678987654321。 　　但现在是无穷个1相乘，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？ 　　利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。 　　循环小数与循环群、周期现象的研究正方兴未艾，它已引起许多人的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微结构。

回数猜想 　　一提到李白，人们都知道这是我国唐代大诗人的名字。如果把“李白”两字颠倒一下，变成“白李”，这也是一个人的名字，此人姓白名李。像这样正着念、反着念都有意义的文字叫做“回文”。王融作有《春游回文诗》；“风朝指锦幔，月晓照莲池。”反过来读：“池莲照晓月，幔锦指朝风。”回文与数学里的“对称”相似。 　　如果一个数，从左右来读都一样，就称它为回文式数。比如、101、32123、9999等都是回文式数。数学中有名的“回数猜想”之谜，至今没有解决。你任取一个数，再把这个数倒过来，并将这两个数相加；然后这个和数再倒过来，与原来的和数相加。重复这个过程，一定能获得一个回文式数。 　　举个例了，比如68，按上述做法进行运算，只需要3步就可以得到一个回文式数1111。 　　68＋86=154 　　154＋451=605 　　605＋506=1111 　　至今没有人能确定这个猜想是对还是错。196这个三位数也许能成为“回数猜想”不成立的反证。因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文式数。但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文式数。 　　数学家对同时是质数的回文式数进行了研究，但是还没有人能证明这种想法是对的。数学家还猜想有无穷个回文质数对，比如30103和30203，它们的特点是中间的数字是连续的，而其他数字都是相等的。 　　在回文式数中平方数是非常多的，比如： 　　121=11的平方 　　12321=111的平方 　　1234321=1111的平方 　　…… 　　12345678987654321=111111111的平方 　　立方数也有类似情况，如： 　　1331=11的立方 　　1367631=111的立方 　　有趣的回文数，至今还有许多不解之谜。我们寄希望于未来的数学家去解开这个谜。

回数猜想 　　一提到李白，人们都知道这是我国唐代大诗人的名字。如果把“李白”两字颠倒一下，变成“白李”，这也是一个人的名字，此人姓白名李。像这样正着念、反着念都有意义的文字叫做“回文”。王融作有《春游回文诗》；“风朝指锦幔，月晓照莲池。”反过来读：“池莲照晓月，幔锦指朝风。”回文与数学里的“对称”相似。 　　如果一个数，从左右来读都一样，就称它为回文式数。比如、101、32123、9999等都是回文式数。数学中有名的“回数猜想”之谜，至今没有解决。你任取一个数，再把这个数倒过来，并将这两个数相加；然后这个和数再倒过来，与原来的和数相加。重复这个过程，一定能获得一个回文式数。 　　举个例了，比如68，按上述做法进行运算，只需要3步就可以得到一个回文式数1111。 　　68＋86=154 　　154＋451=605 　　605＋506=1111 　　至今没有人能确定这个猜想是对还是错。196这个三位数也许能成为“回数猜想”不成立的反证。因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文式数。但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文式数。 　　数学家对同时是质数的回文式数进行了研究，但是还没有人能证明这种想法是对的。数学家还猜想有无穷个回文质数对，比如30103和30203，它们的特点是中间的数字是连续的，而其他数字都是相等的。 　　在回文式数中平方数是非常多的，比如： 　　121=11的平方 　　12321=111的平方 　　1234321=1111的平方 　　…… 　　12345678987654321=111111111的平方 　　立方数也有类似情况，如： 　　1331=11的立方 　　1367631=111的立方 　　有趣的回文数，至今还有许多不解之谜。我们寄希望于未来的数学家去解开这个谜。

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德国哲学家康德的二律背反证明了世间必然有一些事物，它们两者均不可置否地能被证明是
正确的
，但同时，两者又不可避免地存在强烈的矛盾，因此，　　　人，永远不可能真正正确地认知世界

楼上的话我敢保证肯定是真的

感动，沉了这么久，终于有人顶了。

那么我就在让你感动一下吧！

thanks

in fact, I think our class is changing ,it doesn't look like a Olmpic Maths Class. i think "our class a OMC" is a junk

will see