已知a^p-a=b^q-b，其中a与b都是正整数且均不为1，p和q是两个不同的质数，p＞q，试问：这个不定方程是否只有有限组解
对于这个不定方程，已经找到的满足条件的解有(a, p, b, q)=(2, 3, 3, 2), (6, 3, 15, 2), (2, 5, 6, 2), (3, 5, 16, 2), (5, 7, 280, 2), (3, 7, 13, 3), (2, 13, 91, 2)这几组，是否还存在其他解

勘误：漏了(30, 5, 4930, 2)这一组

按a-b=…,-2,-1,0,1,2,…,n逐个讨论，因此问题归结于证明x^m-y^n=k是否只有有限个解。

主楼问题是Bennett的一个猜想的特殊情形:
Bennett 证明了对任意正整数a,b,c, 当a,b大于1时, 关于x,y的指数不定方程
a^x - b^y = c (*)
最多只有2组正整数解(x,y)
此外Bennett进一步猜想: 当(a,b,c)不属于集合
S= {(3, 2, 1), (2, 3, 5), (2, 3, 13), (4, 3, 13), (16, 3, 13), (2, 5, 3), (13, 3, 10), (91, 2, 89), (6, 2, 4), (15, 6, 9), (280, 5, 275), (4930, 30, 4900), (6, 3, 1215)}
当中时, 方程(*)最多只有一组正整数解(x,y)
S中的例外对应的等式 a^x - b^y = c 分别是
3 - 2 = 3^2 - 2^3 = 1
2^3 - 3 = 2^5 - 3^3 = 5
2^4 - 3 = 2^8 - 3^5 = 13
4^2 - 3 = 4^4 - 3^5 = 13 (和上一组解相同)
16 - 3 = 16^2 - 3^5 = 13 (和上一组解相同)
2^3 - 5 = 2^7 - 5^3 = 3
13 - 3 = 13^3 - 3^7 = 10
91 - 2 = 91^2 - 2^13 = 89
6 - 2 = 6^2 - 2^5 = 4
15 - 6 = 15^2 - 6^3 = 9
280 - 5 = 280^2 - 5^7 = 275
4930 - 30 = 4930^2 - 30^5 = 4900
6^4 - 3^4 = 6^5 - 3^8 = 1215
其中包含(x,y)=(1,1) 的等式共有8组, 正好是主楼(连同2楼)列出的解, 所以如果Bennett猜想为真, 主楼问题的答案就是肯定的
可以参考:
M. A. Bennett. (2001). On some exponential equations of S. S. Pillai. Canadian journal of Mathematics. 53(5). 897-922.