对于平面上的N个两两不共线的点，N=4的时候可以找到这样的四个点两两不共线，两两之间距离均为有理数：O(0, 0), A(3, 0), B(-132/65, -132√3/65), C(-5/2, 5√3/2), 原理是两两之间满足x²+xy+y²为完全平方数的最小正整数数组为195, 264, 325
我们把他扩展到N≥5的情况，而当我尝试寻找满足两两之间距离均为有理数的点，可惜都失败了，于是我有这样的猜想：对于平面上任意N（N≥3）个两两不共线的点，彼此之间连成的线段最多只有3(N-2)条线段长度均为有理数，请问此猜想是否正确

两两不共线是什么意思

这种问题除了要求所有点不全共线以外, 一般还得要求不共圆,
否则只需要取一个半径为有理数的圆O, 再取一个正弦与余弦均为非零有理数的角θ (比如θ = arctan 4/3 ),
然后在圆周上依次取n个点P_1, P_2, …, P_n, 使得对任意1≤i≤n-1, OP_i 与 OP_{i+1} 夹角为 2θ, 并且1<i<n 时 P_i 在圆弧 P_{i+1}P_{i-1} 上
可以证明 π/θ 不会是有理数, 所以P_1, P_2, …, P_n 这n个点两两不重合,
另一方面对任意1≤i<j≤n, 弦P_iP_j 所对的圆周角总是θ 的整数倍, 正弦都是有理数, 按照正弦定理可以推出 |P_iP_j| 也是有理数