就当是分析学复健了

对任一复数 z ,
e^iz = cosz + i sinz .

先叠甲：
1. 不是真的从公理开始证，基础主要是定义上的，不是结构上的。
2. 由于三角函数要用平面几何里的朴素定义，所以严格意义上来说不是100%严谨的，但我想了下应该也够了。
3. 过程中请不要插楼，会删。

Proof.(假装是斜体)

首先，对于任何 ＞0 的实数 a ，
可以定义 a 的整数次幂。
、
也可以定义 a 的（1/n）次幂，n 是非 0 整数。
、
然后就可以定义 a 的有理次幂，并且验证这个【有理次幂】确实是良定的。

然后可以证明 a 的有理次幂在有理点上连续的。（利用指数的乘积性质）
、
进而可以连续地定义 a 的所有实数次幂，并且 a 的实数次幂也是连续的。

现在，我们知道了对于所有 ＞0 的实数 a ，a 的实数次幂都是有定义的，并且是连续的。
、
下面需要证明对任意 a＞0 ，a^x 是可导的。

不难看出，因为 a^(x+y) = a^x a^y
所以 a^x 在 R 上可导，当且仅当在 x=0 处可导。
所以只需要证明 （a^x — 1）/（x）在 x → 0 时极限存在且有限就行了。

做个代换，令 a^x — 1 = y
、
则只需证明 log_a [ (1+y)^(1/y) ] 在 y→ 0 时极限存在且有限。
、
（定义了 a^x 自然可以定义对应的反函数 log_a ( x ) ， a^x 的连续性保证了 log_a ( x ) 的连续性）
、
而 (1+y)^(1/y) 在 y→ 0 时的极限存在是可以独立证明的。
、
（可以证明 [ 1+(1/b) ] 的 b 次方在 b → + ∞ 时有有限的极限，
用数列极限 [ 1+(1/n) ] 的 n 次方的单调有界性，以及夹闭定理）
、
所以 (1+y)^(1/y) 在 y→ 0 时有有限的极限，并且这个极限 ＞ 1 .
、
、
记这个极限为 L .

也就是说，可以证明对任意 a ＞ 1，
a^x 在 R 上可导，并且 x=0 处的导数是 1/(log_a L) ，其中 L ＞ 1 .

取 a = L，这样 L^x 在 x=0 处的导数就是1，并且 L^x 在整个 R 上的导函数就是 L^x 自己。

（ok，最难写的地方搞定了）
于是，可以证明 L^x 在 R 上收敛到那个经典的幂级数，于是在 C 上也是收敛的。
、
由于 L 的定义式其实就是 e 的定义式，
所以 L 的复数次幂，也就是 e 的复数次幂，就全部定义出来了。

由幂级数的形式，可以把
e^it 写成实部和虚部两个部分，即
e^it = x_1(t） + i x_2(t) ， 其中 t 是实数。
于是下面只需要证 x_1， x_2 都是对应的三角函数就行了

下面考虑匀速圆周运动
、
（也可以完全用圆的参数方程的语言来说，但我个人认为提圆周运动更“几何”一些，大概…）
、
( r ，r ) = 常数，即位置向量 r 和自己的内积是常数。
、
求一阶导可以得出 ( r ' ，r ) = 0，即 r 的一阶导和 r 正交。
、
再求一次导可以得出 ( r '' ，r ) = — ( r ' ，r ' )，由于是匀速，所以 ( r '' ，r ) 等于一个负的常数。
、
、
也就是说，r '' 沿半径方向的分量是不变的，
而又因为是匀速，所以 r '' 是没有沿切向方向的分量的。
、
所以， r '' 其实是 r 的反向的常数倍。
即， r '' + C r = 0，这是描述匀速圆周运动的 2 阶常微分方程。

因为 r(t) 是关于 t 的实变复值函数，
所以方程 r '' + C r = 0 中的 C 大小是和“运动速度”相关的，
比如把 t 换成 a 倍 的 t ，
t → at ，求两次导是会出两个 a 的。
、
所以我们可以调整“运动速度”，令 C = 1 .
方程简化为 r '' + r = 0 .