已知多项式函数f(x)=x^m-x^n，其中m＞n＞0且m, n∈Ｎ*，并且对于任意正整数k, f(k)都能被f(2)整除，如何用多种方法证明满足条件的(m, n)只有(2, 1), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (8, 2), (9, 3), (14, 2), (15, 3), (16, 4)这几组，请展示出你自己的方法

从Feit的一个定理可以推出, 当正整数r∉{1,2,4,6,12}时, 2^r - 1总有一个奇素数幂因子p^k满足p^k ≥ 2r+1
这时如果m-n = r, 可以取模p^k的一个原根g, 由条件
2^m - 2^n | g^m - g^n
以及g与p^k互素, 可以推出
p^k | g^r - 1
=> p^(k-1)*(p-1) | r
但是从 r < p^k/2 可以得到 0< r < p^(k-1)*(p-1), 矛盾
说明 m-n 只可能等于1,2,4,6,12
再由 2^m - 2^n | 3^m - 3^n 可以推出
2^n | 3^(m-n) - 1
进而得到若n≥2 则2^(n-2) | m-n, 说明n有上界 (n≤4), 这样就说明满足要求的(m,n)只可能存在有限多对
这样除了主楼的13对(m,n)以外还剩下(m,n)∈{(7,1),(13,1),(3,2)}的可能, 这几种情况在x=3时都不符合要求
(3^7 - 3^1)/(2^7 - 2^1) = 52 / 3 ∉ Z
(3^13 - 3^1)/(2^13 - 2^1) = 584 / 3 ∉ Z
(3^3 - 3^2)/(2^3 - 2^2) = 9/2 ∉ Z
最后只要对主楼给出的这些(m,n)证明 2^m - 2^n 整除 x^m - x^n 恒成立, 可以用费马小定理和阶的性质分情况具体解决
Feit的定理是对Bang-Zsigmondy定理的加细, 可以参考
W. Feit (1988). On large Zsigmondy primes, Proc. Amer. Math. Soc. 102, 29-36.