吧务
level 11
问简微
楼主
有一个这样的猜想：对于任意正整数n≥2，总存在(n+1)个整数x₁, x₂, x₃, …, xₙ, y, 满足Σᵢ₌₁ⁿ xᵢⁿ=yⁿ
对于比较小的n的情况是显而易见的，比如：
n=2对应的情况就是我们熟悉的“勾股数”，并且存在完全通解x₁=k(a²-b²), x₂=2kab, y=k(a²+b²)(k, a, b∈Ｎ*)
n=3时，存在(x₁, x₂, x₃, y)=(3, 4, 5, 6), (1, 6, 8, 9), (3, 10, 18, 19), (4, 17, 22, 25), (18, 19, 21, 28), (2, 17, 40, 41)等，并且存在通解及其对应的构造方法，但是比较复杂，需要记x₁=(a+b)k+a, x₂=ak-b, x₃=(c+d)k+c, -y=ck-d(a, b, c, d∈Ｚ，k∈Ｑ), 则x₁³+x₂³=((2a+b)k+a-b)(a²+ab+b²)(k²+k+1), 记(2a+b)(a²+ab+b²)+(2c+d)(c²+cd+d²)=A, B=b³-c³+d³-a³, 则k=B/A，等比例放缩得到x₁=s((a+b)B-aA), x₂=s(aB-bA), x₃=s((c+d)B-cA), y=s(dA-cB)(s∈Ｑ, a, b, c, d∈Ｚ)
n=5时，存在(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, y)=(7, 43, 57, 80, 100, 107), 并且存在通解x₁=a⁵-25b⁵, x₂=a⁵+25b⁵, x₃=10a³b², x₄=50ab⁴, x₅=75b⁵-a⁵, y=a⁵+75b⁵
而对于n=4以及n≥6的情况，用计算机跑程序也能跑出几组解，但是通解非常难找，运行速度非常慢
PS：
lz
曾经试过寻找n=7的情况对应的构造，采用类似n=5的构造方法，也就是记x₁=a⁷+kb⁷这样，结果失败了
2026年05月06日 17点05分
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对于比较小的n的情况是显而易见的，比如：
n=2对应的情况就是我们熟悉的“勾股数”，并且存在完全通解x₁=k(a²-b²), x₂=2kab, y=k(a²+b²)(k, a, b∈Ｎ*)
n=3时，存在(x₁, x₂, x₃, y)=(3, 4, 5, 6), (1, 6, 8, 9), (3, 10, 18, 19), (4, 17, 22, 25), (18, 19, 21, 28), (2, 17, 40, 41)等，并且存在通解及其对应的构造方法，但是比较复杂，需要记x₁=(a+b)k+a, x₂=ak-b, x₃=(c+d)k+c, -y=ck-d(a, b, c, d∈Ｚ，k∈Ｑ), 则x₁³+x₂³=((2a+b)k+a-b)(a²+ab+b²)(k²+k+1), 记(2a+b)(a²+ab+b²)+(2c+d)(c²+cd+d²)=A, B=b³-c³+d³-a³, 则k=B/A，等比例放缩得到x₁=s((a+b)B-aA), x₂=s(aB-bA), x₃=s((c+d)B-cA), y=s(dA-cB)(s∈Ｑ, a, b, c, d∈Ｚ)
n=5时，存在(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, y)=(7, 43, 57, 80, 100, 107), 并且存在通解x₁=a⁵-25b⁵, x₂=a⁵+25b⁵, x₃=10a³b², x₄=50ab⁴, x₅=75b⁵-a⁵, y=a⁵+75b⁵
而对于n=4以及n≥6的情况，用计算机跑程序也能跑出几组解，但是通解非常难找，运行速度非常慢
PS：
lz
曾经试过寻找n=7的情况对应的构造，采用类似n=5的构造方法，也就是记x₁=a⁷+kb⁷这样，结果失败了
