把1/k(k∈Ｎ*)拆成n个埃及分数和，值最小的分数（也就是分母最大的分数）的分母Aₙ可能的最大值满足递推关系Aₙ₊₁=Aₙ(Aₙ+1)，A₁=k，这个递推关系的通项无法用初等函数表示
我们可以知道Aₙ|Aₙ₊₁
那么，有一个问题：已知P为素数
是否存在N, n≥N时，有P|Aₙ恒成立
比如P=7时，我们可以进行模7运算：
k≡1时，A₁≡1, A₂≡1*2=2, A₃≡2*3=6, A₄≡6*7≡0
由于Aₙ|Aₙ₊₁, 所以k=1时，n≥4时Aₙ一定能被7整除
同时得知k≡2的情况同样满足给定N，当n≥N时7|Aₙ
k≡3时，3*4≡5, 5*6≡2，又回到k≡2的情况了
k≡4时，4*5≡6, 6*7≡0，可知k=5, 6时会得到同样的结果
所以P=7时，任意k∈Ｎ这个结论一定成立
补充一个结论，就是对于模P(P为素数)运算，k(k+1)与(P-k-1)(P-k)同余，所以A₁=k和A₁=P-k-1的情况是等同的，所以考虑是否存在N，n≥N时，P|Aₙ的问题，只需要考虑1≤k≤(P-1)/2的情况即可
由于A₂=A₁(A₁+1), A₃=A₂(A₂+1)，A₂+1=A₁²+A₁+1, Aₙ₊₁+1=Aₙ²+Aₙ+1，所以，Aₙ₊₁/Aₙ（n≥2）包含的因数只能是3或者6k+1形状的，又因为k(k+1)(k²+k+1)一定是3的倍数（也就是A₃一定是3的倍数，P=3时结论一定成立），所以Aₙ₊₁/Aₙ（n≥3）包含的因数只能是6k+1形状的，所以，P为6k+5形状的素数时，结论不成立
我们再考虑P=13：模13运算，只需要1≤k≤6的情况：
k=1: 1*2≡2, 2*3≡6, 6*7≡3, 3*4≡12, 12*13≡0，同理对k=2, 3, 6成立；
k=4: 4*5≡7, 7*8≡4，循环了，同理k=5, 7, 8也会出现循环
P=19：模19运算，只需考虑1≤k≤9：
k=1: 1*2≡2, 2*3≡6, 6*7≡4, 4*5≡1(循环，k=2, 4, 6同样出现循环)
k=3: 3*4≡12, 12*13≡4, 4*5≡1(循环)
k=5: 5*6≡11, 11*12≡18(接下来整除，k=7同理)
k=8: 8*9≡15(与k=3等效，循环)
k=9: 9*10≡14(与k=4等效，循环)
貌似每个P=6K+1（7除外）, 总有一部分最终会被P整除，有一部分则陷入循环，永远不会整除，那么，对于这个结论，只有P=2, 3, 7才对任意k都成立，其他的素数，应该如何去考虑