吧务
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问简微
楼主
也就是对于任意正整数n≥3，1/x+1/y+1/z=4/n均存在正整数解(x, y, z)满足条件
这是我在网上看到的，在B站刷视频的时候看到的，那位视频的博主说他依然是未解之谜，接下来是我自己的看法：
不妨采用分类讨论法：
n为4的倍数时，记n=4k, 则4/n=1/k，由于1/k可以使用万能公式1/k=1/(k+1)+1/k(k+1)=1/(k+2)+1/(k+1)(k+2)+1/k(k+1)拆解，所以n=4k时一定存在正整数解
n为偶数，但不是4的倍数时，记n=4k+2, 则4/n=2/(2k+1)=(2k+2)/(2k+1)(k+1)=(1+(2k+1))/(2k+1)(k+1)=1/(2k+1)(k+1)+1/(k+1)=1/(2k+1)(k+1)+1/(k+2)+1/(k+1)(k+2)，也一定存在正整数解
则n为偶数时，一定存在正整数解
下面只需要考虑n为奇数的情况：
不妨优先考虑n除以4余3的情况：n=4k-1, 则4/n=4/(4k-1)=4k/k(4k-1)=(1+4k-1)/k(4k-1)=1/k(4k-1)+1/k=1/k(4k-1)+1/(k+1)+1/k(k+1)，一定存在正整数解
n为合数时，n存在因数p≥5，不妨记n=pq, 则4/n=4/pq=1/q·4/p, 可知假若n=p满足条件，则n=pq也满足条件
注意到4/9=1/3+1/9=1/3+1/10+1/90=1/4+1/9+1/12=1/3+1/12+1/36，则n为3的正整数次幂时，一定存在正整数解
所以，只需要证明所有的4k+1型的素数满足条件即可
不妨记n=4k+1, 则4/n=4/(4k+1)=4(k+1)/(4k+1)(k+1)=(3+4k+1)/(4k+1)(k+1)=1/(k+1)
+3
/(4k+1)(k+1)
k=3u-1时，n一定为3的倍数，3/(4k+1)(k+1)=1/3u(4u-1)，此时一定存在正整数解，于是，n为3的倍数时，一定存在正整数解
k=3u+1时，3/(4k+1)(k+1)=3/(12u+5)(3u+2)=3/(36u²+39u+10)=3/((36u²+39u+6)+4)
u=2v时，36u²+39u+6一定为6的倍数，记为6A, 3/(6A+4)=1/2·3/(3A+2)=1/2·(3(A+1)/(A+1)(3A+2))=1/2·((3A+2+1)/(A+1)(3A+2))=1/2·(1/(A+1)+1/(A+1)(3A+2))=1/2(A+1)+1/2(A+1)(3A+2), 此时n=4k+1=12u+5=24v+5
同理，k=3u, u=2v+1时，(4k+1)(k+1)=6B+4，同样存在正整数解，此时n=24v+13
由于Ｚ/24Ｚ的单位群为{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, 由于7, 11, 19, 23, 5, 13的情况均已讨论，只需要证明所有的24v+1以及24v+17的素数成立即可，也就是8k+1形状的素数成立即可
注意到3/(4k+1)(k+1)=1/(k+1)·3/(4k+1), 而4k+1=24v+17时，k=6v+4, 3/(4k+1)(k+1)=1/(6v+5)·3/(24v+17)=1/(6v+5)·(3(8v+6)/(8v+6)(24v+17))=1/(6v+5)·(1/(8v+6)+1/(8v+6)(24v+17))，则对于n=24v+17的情况一定存在正整数解
这个时候，情况讨论缩小到了只需要讨论n=24v+1型的素数的情况
24v+1型的素数有：73, 97, 193, 241, 313, 409, 433, 457, 577, 601, 673, 769, 937, 1009等
当k+1存在(3u+2)形状的素因数时，可以知道一定存在正整数解（读者自己证明），若k+1不存在(3u+2)形状的素因数，则x=k+1时不存在相应的解，（不妨使用下面的证明方法证明：
3/(Πᵢ₌₁ⁿ pᵢ)=1/y+1/z, 其中pᵢ=3kᵢ+1时，记Πᵢ₌₁ⁿ pᵢ=K, 则3/K=1/y+1/z=(y+z)/yz, 则3yz=K(y+z), (3y-K)(3z-K)=K², 而3y-K≡3z-K≡2(mod 3), 而K²没有3k+2形状的因数，所以，在这种情况下，没有相应的解）
这样，我们可以继续缩小需要考虑的范围
比如n=73时，(n+3)/4=19不存在(3k+2)形状的因数，则需要考虑别的x, x=20时，1/y+1/z=4/73-1/20=7/(20*73)=(5+2)/(20*73)=1/292+1/730
则4/73=1/20+1/292+1/730
n=97时，(n+3)/4=25, 25可以被5整除
接下来的证明非常复杂，燃尽了
2026年02月26日 12点02分
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这是我在网上看到的，在B站刷视频的时候看到的，那位视频的博主说他依然是未解之谜，接下来是我自己的看法：
不妨采用分类讨论法：
n为4的倍数时，记n=4k, 则4/n=1/k，由于1/k可以使用万能公式1/k=1/(k+1)+1/k(k+1)=1/(k+2)+1/(k+1)(k+2)+1/k(k+1)拆解，所以n=4k时一定存在正整数解
n为偶数，但不是4的倍数时，记n=4k+2, 则4/n=2/(2k+1)=(2k+2)/(2k+1)(k+1)=(1+(2k+1))/(2k+1)(k+1)=1/(2k+1)(k+1)+1/(k+1)=1/(2k+1)(k+1)+1/(k+2)+1/(k+1)(k+2)，也一定存在正整数解
则n为偶数时，一定存在正整数解
下面只需要考虑n为奇数的情况：
不妨优先考虑n除以4余3的情况：n=4k-1, 则4/n=4/(4k-1)=4k/k(4k-1)=(1+4k-1)/k(4k-1)=1/k(4k-1)+1/k=1/k(4k-1)+1/(k+1)+1/k(k+1)，一定存在正整数解
n为合数时，n存在因数p≥5，不妨记n=pq, 则4/n=4/pq=1/q·4/p, 可知假若n=p满足条件，则n=pq也满足条件
注意到4/9=1/3+1/9=1/3+1/10+1/90=1/4+1/9+1/12=1/3+1/12+1/36，则n为3的正整数次幂时，一定存在正整数解
所以，只需要证明所有的4k+1型的素数满足条件即可
不妨记n=4k+1, 则4/n=4/(4k+1)=4(k+1)/(4k+1)(k+1)=(3+4k+1)/(4k+1)(k+1)=1/(k+1)
+3
/(4k+1)(k+1)
k=3u-1时，n一定为3的倍数，3/(4k+1)(k+1)=1/3u(4u-1)，此时一定存在正整数解，于是，n为3的倍数时，一定存在正整数解
k=3u+1时，3/(4k+1)(k+1)=3/(12u+5)(3u+2)=3/(36u²+39u+10)=3/((36u²+39u+6)+4)
u=2v时，36u²+39u+6一定为6的倍数，记为6A, 3/(6A+4)=1/2·3/(3A+2)=1/2·(3(A+1)/(A+1)(3A+2))=1/2·((3A+2+1)/(A+1)(3A+2))=1/2·(1/(A+1)+1/(A+1)(3A+2))=1/2(A+1)+1/2(A+1)(3A+2), 此时n=4k+1=12u+5=24v+5
同理，k=3u, u=2v+1时，(4k+1)(k+1)=6B+4，同样存在正整数解，此时n=24v+13
由于Ｚ/24Ｚ的单位群为{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, 由于7, 11, 19, 23, 5, 13的情况均已讨论，只需要证明所有的24v+1以及24v+17的素数成立即可，也就是8k+1形状的素数成立即可
注意到3/(4k+1)(k+1)=1/(k+1)·3/(4k+1), 而4k+1=24v+17时，k=6v+4, 3/(4k+1)(k+1)=1/(6v+5)·3/(24v+17)=1/(6v+5)·(3(8v+6)/(8v+6)(24v+17))=1/(6v+5)·(1/(8v+6)+1/(8v+6)(24v+17))，则对于n=24v+17的情况一定存在正整数解
这个时候，情况讨论缩小到了只需要讨论n=24v+1型的素数的情况
24v+1型的素数有：73, 97, 193, 241, 313, 409, 433, 457, 577, 601, 673, 769, 937, 1009等
当k+1存在(3u+2)形状的素因数时，可以知道一定存在正整数解（读者自己证明），若k+1不存在(3u+2)形状的素因数，则x=k+1时不存在相应的解，（不妨使用下面的证明方法证明：
3/(Πᵢ₌₁ⁿ pᵢ)=1/y+1/z, 其中pᵢ=3kᵢ+1时，记Πᵢ₌₁ⁿ pᵢ=K, 则3/K=1/y+1/z=(y+z)/yz, 则3yz=K(y+z), (3y-K)(3z-K)=K², 而3y-K≡3z-K≡2(mod 3), 而K²没有3k+2形状的因数，所以，在这种情况下，没有相应的解）
这样，我们可以继续缩小需要考虑的范围
比如n=73时，(n+3)/4=19不存在(3k+2)形状的因数，则需要考虑别的x, x=20时，1/y+1/z=4/73-1/20=7/(20*73)=(5+2)/(20*73)=1/292+1/730
则4/73=1/20+1/292+1/730
n=97时，(n+3)/4=25, 25可以被5整除
接下来的证明非常复杂，燃尽了
