有一个这样的结论，对于aₙ=nⁿ-(-1)^(n(n-1)/2)(n≥2且n∈Ｎ*), 有：b=2n+1为素数时，满足(2n+1)|aₙ, 但是也有一些2n+1为合数的情况，也满足这一条结论，比如说n=280=2³*5*7, 2n+1=561=3*11*17, 则：280-1|280^280-1，3|280-1，则3|280^280-1，
280^280-1≡5^280-1≡1-1=0(mod
11
), 则11|280^280-1，280^280-1≡8^280-1≡0(mod 17), 则17|280^280-1，则561|280^280-1.
事实上，对于b，所有8k+1形状的Carmichael数都满足上面一条性质，但是也有一些不是Carmichael数的b也满足这一条性质，比如说1905, 2047等
但是也有一些Carmichael数，不满足上面这一条性质，比如说2821和8911等
b=2n+1为合数时，65536以内满足条件的(n, b, b的素因数分解)如下（这是我用Python寻找的），其中绝大多数都是以2为底的伪素数

显然能被2λ(n)|n-1的卡迈克尔数n满足条件,λ(n)是卡迈克尔函数

如何证明8k+1的卡迈克尔数都满足条件

可以证明合数b=2n+1整除a_n, 当且仅当b满足
2^[(b-1)/2]≡ (2 | b) (mod b)
也就是b是一个以2为底的Euler-Jacobi伪素数
如果c是一个模8余1的Carmichael数, 那对于c的每个奇素因子p
若p≡1或7(mod 8), 由Korselt准则可知(p-1)/2整除(c-1)/2, 则由2^[(p-1)/2]≡(2|p) = 1(mod p)可知2^[(c-1)/2]≡1(mod p)
若p≡3或5(mod 8), 同样由Korselt准则可知p-1整除c-1, 并且由c≡1(mod 8)可知(c-1)/(p-1)是偶数, 所以p-1整除(c-1)/2, 由2^(p-1)≡1(mod p)可知2^[(c-1)/2]≡1(mod p)
因此2^[(c-1)/2]≡1(mod p)对c的每个奇素因子都成立, 而c又是无平方因子数, 所以2^[(c-1)/2]≡1(mod c)
另一方面由c≡1(mod 8)可知Jacobi符号(2 | c) = 1, 这说明每个模8余1的Carmichael数都是以2为底的Euler-Jacobi伪素数