已知f(x)=x^2ln(ax)(a>0)
1:若曲线y=f(x)在x=e/a处的切线的斜率是3e，求a的值。
2:求f(x)在区间[1/e,e]上的最小值。

解析：
(1)f(x)=x²·ln(ax)
则f'(x)=2x·ln(ax)+x
∵点(e/a,f(e/a))在曲线y=f(x)上
∴曲线y=f(x)在x=e/a处的切线的斜率为f'(e/a)=e/a
则e/a=3e
∴a=1/3
(2)f'(x)=2x·ln(ax)+x=x·(2ln(ax)+1)
令2ln(ax)+1=0，得x=e^(-1/2)/a，记x₀=e^(-1/2)/a
当0<x<x₀时，f'(x)<0；当x>x₀时，f'(x)>0
∴f(x)在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增
若x₀≤1/e,即a≥e^(1/2),则f(x)在[1/e,e]上单调递增
此时f(x)的最小值为f(1/e)=(1na-1)/e²
若x₀≥e,即0<a≤e^(-3/2),则f(x)在[1/e,e]上单调递减
此时f(x)的最小值为f(e)=(1na+1)e²
若1/e<x₀<e,即e^(-3/2)<a<e^(1/2),
此时f(x)的最小值为f(x₀)=-x²₀/2=1/(2ea²)


第一问写错了，修正：
(1)f(x)=x²·ln(ax)
则f'(x)=2x·ln(ax)+x
∵点(e/a,f(e/a))在曲线y=f(x)上
∴曲线y=f(x)在x=e/a处的切线的斜率为f'(e/a)=3e/a
则3e/a=3e∴a=1

回复：3楼
谢谢！就是1。