求所有满足方程，3^x-8^y=2xy+1的正整数组(x,y)。是否只有(x,y)=(4,2)一组解?

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这里引用了Ellison(1971)借助超越数论中Baker方法证明的结论, 当m>27时
|3^n - 2^m| > 1.8^m
由此可以推出当y>9时, 若y>x/3, 则
|3^x - 8^y| > 1.8^(3y) > 9y^2 > 3xy > 2xy+1
若y≤x/3, 则x>27, 进而
3^x - 8^y ≥ 3^x - 2^x > x^2 ≥ 3xy > 2xy+1
因此y>9时方程无解, 再检验1≤y≤9的情形可知唯一的正整数解是(x,y)=(4,2)

如果思考后遇到瓶颈，请务必按此顺序尝试处理。
① 当y为偶数时缩小条件范围。
（i）可证明x也是偶数。
（ii）由于可表示为两个平方数的差，因此可以从下方估计其值。
（iii）多项式被指数函数从下方限制，从而可以缩小范围。
② 当x是3的倍数时，与①同样地缩小条件范围。
③ 当x是不被3整除的奇数时，利用剩余类证明无解。(日文机翻)

一个简单方法(转载)

3楼和4楼解答的思路大意是这样子
(1) 若x为偶数且y为偶数, 用平方差公式可以估计
3^x-8^y >> 3^(x/2) > 2xy+1
(2) 若x为3的倍数, 可以类似地用立方差公式来估计
3^x - (2^y)^3 >> 3^(2x/3)
除了这两种情形下以外, 剩下的情形可以包含在以下两种情况中
(3) x不被3整除且y是奇数, 用v_p(n)表示n的素因子分解式中p的指数, 这时按照升幂公式
v_3(8^y+1) = 2+v_3(y)
而由于8^y<3^x, y< x, 当x比较大时总能得到v_3(2xy) < x, 所以
v_3(3^x-2xy) = v_3(2xy) = v_3(y)
这和 3^x-2xy = 8^y+1 矛盾
(4) x是奇数且y是偶数, 这时模4可以推出矛盾, 或者可以按照和(3)类似的过程, 先推出
v_2(3^x-1) = 1
而由于v_2(2xy) = 1+v_2(y) < 3y, 所以
v_2(8^y+2xy) = v_2(2xy) = 1+v_2(y)
说明y是奇数, 和条件矛盾