如何证明E在圆上

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补一下图片

设AD与圆O再次交于D'，圆AXY与圆O再次交于E'，那么我们要证明的就是E与E'重合
对于E'，由于OE'，OA与圆AXY相切，由熟知的结论AXE'Y为调和四边形，又AO与圆AXYE'相切，故AY，AE'，AX，AO为调和线束。即AE',AB,AD',AC为调和线束
故为证结论，只需证明AE,AB,AD',AC为调和线束。
将整个图形关于A反演，得到的图形如图所示，这个图里的每一点代表该点在反演后的像(我懒得用新的字母了)。
那么要证明的即AE，AB，AD'，AC为调和线束，即E,B,D',C为调和点列
证明：由熟知的结论(或者也可以很简单的推导一下就知道)ABMC 为调和四边形，所以DM,DB,DA,DC为调和线束，投影在直线BC上就得到了E,B,D',C为调和点列
证毕！

别看我在楼里回复你那个，那个有错字，看这个
可以把调和和反演的部分替换掉，首先，还是要证明AXE' Y为调和四边形。 调和四边形就是对边乘积相同的四边形，证明A XE' Y为调和四边形就用OXA相似于OAY，OXE相似于OEY倒一下边就完事 那么导角可得E' XAY相似于E' BD'C，那么E' BD' C也为调和四边形，也就是E' B✖️CD'🟰E' C'✖️BD'
记三角形ABC过A高线与圆O再次交于L，那么就有E' B✖️BL🟰E' C✖️CL，即三角形E' BL与E' CL面积相等，即E' ML共线
而另一方面，角AEL🟰角ADM🟰角AEM，故显然EML共线。
综上，E与E'重合，证毕

这样的方法我才能理解，想了很久才想到的