例如:对任意正整数n,8ⁿ+83都是合数;
寻找k满足ω(k⁴-1)≥ω(k²-1)+2,ω(t)表示t的不同素因子个数.p₁是k⁴-1不整除k²-1的最小素因子,p₂是k⁴-1不整除k²-1的第二小素因子,p₃是k²-1的最小素因子.解a≡-1(mod p₃),k≡-a(mod p₂),k³≡-a(mod p₁),p₁与p₂可交换位置,如a有解,就有取任意正整数n时kⁿ+a都是合数

这里k应该是满足|k|>1的整数, 感觉应该加一个a与k互素的要求, 不然当k>1时要满足要求可以直接取a=k,
还有一些细节问题, 比如有可能k+a = p_2 或者 k^3+a = p_1, 这样的话结果里还是有合数, 只要把a取得足够大就可以排除这种情况
这种构造可以推广, 对于偶数k, 只要存在正整数l使得 k^2^l + 1是合数, 那就可以把形如k^n+1的数按照指数n不同分成l+1组
n≡1(mod 2), n≡2(mod 4), n≡4(mod 8), … , n≡2^(l-1) (mod 2^l), n≡0(mod 2^l)
让模为2^i 的组中的n对应的 k^n + a 始终被 k^2^(i-1) + 1的一个素因子p_i整除, 也就是取下面的同余方程组的一个整数解作为a
a≡-k (mod p_1)
a≡ -k^2 (mod p_2)
a≡ -k^4 (mod p_3)
…
a≡ -k^2^(l-1) (mod p_l)
a≡ -1 (mod p_l')
由于k+1, k^2+1, k^4+1,…, k^2^l+1两两互素, 所以p_1,p_2,…两两互不相等, 最后的p_l,p_l'是k^2^l+1的两个不同素因子, 这样上面的同余方程组总是有解,
解当中的每个整数a都可以使得对每个正整数n, k^n+1 总被p_1,p_2,…,p_l,p_l' 当中至少一个整除