NSolve[1/2*(Exp[x] + Exp[-x]) == Exp[x^2/8], {x}]
NSolve::nsmet 无法利用 NSolve 现有的方法求解该系统. 请尝试使用 Reduce 或 FindInstance.
FindRoot[1/2*(Exp[x] + Exp[-x]) == Exp[x^2/8], {x, 8}] 可以得到三个解之一
{x -> 7.23339}
我不太确定吧里是不是有过相关的讨论。

限制为Reals可解：
NSolve[1/2*(Exp[x] + Exp[-x]) == Exp[x^2/8], {x}, Reals]
复数域上的情况搞不清楚……

其实对于Solve，NSolve，Reduce来来回回招数也就这些：强制指定数域（有时实数域有奇效，有时复数域有奇效），加限制条件（但是有时候又需要去掉限制条件……），三角化指数，万能公式化三角为多项式，调节 Method 选项，尽量去除不必要的分式，尽量去除不必要的复杂字母系数。差不多就这些吧？