怎么证明实数集里面有界闭集和紧集等价？
以及紧集是由有限开覆盖的方法定义的

找到一张以前写过的图

具有有限覆盖性质的集合就叫紧集，不懂要怎么证明紧集是用有限开覆盖方法定义的

紧性推有界性：取全体开球(-R,R)构成的开覆盖，它对紧集K有有限子覆盖，因此K在R最大的那个开球里。
紧性推闭性：反证法，若x在紧集K的闭包里但不在K里，取全体R\[x-ε,x+ε]，它覆盖了R\{x}因此也覆盖了K，因此K是有限子覆盖中ε最小的那个的子集，也就是(x-ε,x+ε)与K没有交集，这与x在K的闭包里矛盾。
有界性+闭性推紧性：利用有界闭区间的紧性。有界集K一定是某个有界闭区间I的子集，而闭集K的补集是开集。那么K的开覆盖C再加入K的补集得到的C'就能覆盖全体实数，也覆盖了I，由I的紧性存在有界子覆盖D'，再至多去掉K的补集得到的D即为C对K的有限子覆盖。

这种经典问题你问ai速度会相当地快

度量空间有此性质

紧+C1推列紧，列紧+度量推紧，列紧+度量＝完全有界+完备+闭，有限维赋范中有界＝完全有界且自动完备，K紧推C（K）完备，C（K）中完全有界＝相对紧＝等度连续