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函数小史   数学史表明,重要的数学概念的产生和发展,对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念。  在笛卡尔引入变量以后,变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。纵览宇宙,运算天体,探索热的传导,揭示电磁秘密,这些都和函数概念息息相关。正是在这些实践过程中,人们对函数的概念不断深化。  回顾一下函数概念的发展史,对于刚接触到函数的初中同学来说,虽然不可能有较深的理解,但无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的。  最早提出函数(function)概念的,是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂,如都叫函数。以后,他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。  1718年,莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为:“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数。贝努利所强调的是函数要用公式来表示。  后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上。只要一些变量变化,另一些变量能随之而变化就可以,至于这两个变量的关系是否要用公式来表示,就不作为判别函数的标准。  1755年,瑞士数学家欧拉把函数定义为:“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的定义中,就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示,欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为:“函数是随意画出的一条曲线。”  当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯,有的数学家甚至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”,把不能用公式表示的函数叫“假函数”。1821年,法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义:“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中,首先出现了自变量一词。  1834年,俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义:“x的函数是这样的一个数,它对于每一个x都有确定的值,并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系(条件)的必要性,利用这个关系,可以来求出每一个x的对应值。  1837年,德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的,所以他的定义是:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数。”这个定义抓住了概念的本质属性,变量y称为x的函数,只须有一个法则存在,使得这个函数取值范围中的每一个值,有一个确定的y值和它对应就行了,不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。这个定义比前面的定义带有普遍性,为理论研究和实际应用提供了方便。因此,这个定义曾被比较长期的使用着。  自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后,用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。  中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》(1895年)一书时,把“function”译成“函数”的。  中国古代“函”字与“含”字通用,都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是:“凡式中含天,为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是:“凡是公式中含有变量x,则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。  我们可以预计到,关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结,也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展。
电阻/电压/电流 表一 电阻(Ω) 电压(V) 电流(A) 10 2 0.2 4 0.4 6 0.6 表二 电压(V) 电阻(Ω) 电流(A) 4 5 0.8 10 0.4 20 0.2 分析表一所列数据,可以得到结论__________ 分析表二所列数据,可以得到结论__________ 答:分析表一所列数据,可以得到结论:当电阻不变时,电路中的电流跟导体两端的电压成正比. 分析表二所列的数据,可以得到结论:当电压不变时,电路中的电流跟导体的电阻成反比. 这是一道实验题,它非常好地体现了在研究电流、电压、电阻的关系时物理中常用到的控制变法,数学中的正比、反比知识,真正要理解好、应用好欧姆定律,清楚欧姆定律的应用范围及条件,就必须对研究欧姆定律的实验认真重视起来.这里需要注意的是: ①电路中对电流的形成及大小的影响是由两个因素:电压、电阻,所以要想研究其中一个因素对电流的影响应当将其它因素加以限制,只剩下这个因素和电流,再采集这个因素影响电流的有关数据,这种方法叫做控制变量法,实验数据中的所谓表一中电阻不变,表二中电压不变,都是被控制的变量,当电阻不变时,来观察电流跟电压的关系,当电压不变时,来观察电流跟电阻的关系,控制变量法被广泛地应用于科学研究中,因为实际中经常碰到的是一个量受多个因素的影响的情况. ②在分析表中数据中要先搞清楚,哪个量是因变量,哪个量是变量,这就是所谓的因果关系要十分清楚. 在初中,我认识电压时,是这样说的:电压是产生电流的原因,所以在电流,电压的关系中,电压是因,电流是果,电压、电流为一个因果关系,那么在叙述结论时就必须注意这一点,否则就会出现错误,当然在叙述电流跟电阻的关系时,也有同样的问题,大家可以从电阻的基本概念入手,来讨论这个问题. ③在得出结论之前,分析实验数据时,应注意先分析电流跟电压,电阻变化的趋势,再进一步,分析在数量上的关系,而数量上的关系应当确实符合数量上的规律,才可以用数学语言来确切叙述. 例如:表一中,分析数据可得出:当电阻不变时,电压增大,电流就跟着增大,电压增大为原来的几倍.电流就跟着增大为原来的几倍,当电压为0时,电流也为0,所以可以说:当电阻不变时,电流跟电压成正比. 当然限于初中实验的条件,初中学生学习的时间有限等因素,不可能对这样总结规律性的实验做得那么充分.只能是让学生们体会一下实验的基本过程、思想、方法、也就只好是通过一组不多的数据,得出了结论性的规律.5.如图[2]所示已知R1=10Ω,R2=3Ω,R1两端的电压为6伏,求通过R2的电流I2及电路两端的电压.图2 解∵R1、R2为串联关系. ∴I1=I2=I方法一 :I=I1=I2=0.2AU=IR=I(R1+R2)=0.2A×(10+30) Ω=8v 方法二∵R1、R2为串联关系∴I=I1=I2 又∵ 有 ∴I2=I=0.2A 方法二,运用的又是比值法,再加欧姆定律,此方法要求电路、电路规律比较熟练,这点我们通过后面的练习来逐步加强.6.如图[3]所求的电路中,R1=4R2,干路电流为2安,求I1、I2. 解∵R1、R2为并联关系∴U1=U2I1R1=I2R2 并联电路中,并联各支路中的电流分配跟电阻成反比. ……①又∵并联电路:I=I1+I2 ……………… ②将 I=2A代入上式 I2=1.6A代入① 图[3] 这种题,要沿用过去解法方法,没有充足的已知数的条件是解不出具体数来的,但运用电路规律及比值关系,能够很容易地解出来. 这道题,利用分份法也可以做:可以根据电阻R1=4R2来将电阻计成5份,R1为4份,R2为1份,再利用并联电路的特点,电流的分配与电阻成反比,来将总电流也分为5份则有0.4A/份,那么通过R1的应当是其中的1份为0.4安,而通过R2的电流则应是总电流5份中的4份为1.6安. 这种题较前面的稍难些,但利用比值法还是比较好做的.
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