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数学皇冠上的塑料珠徐迟在他的报告文学《哥德巴赫猜想》中，曾把至今尚未有解的著名数学之谜“哥德巴赫猜想”称之为“数学皇冠上的明珠”。如此说来，另一个至今尚未有解的(相对)非著名数学之谜“冰雹猜想”，似乎就可以被(戏言)称为“数学皇冠上的暗珠”了 “数学皇冠上的暗珠”：对于任意正整数 N，如果N是偶数，把它除以2；如果N是奇数，把它先乘3再加1。如此重复操作，最终结果必定是 1。只因“数学皇冠上的暗珠”的难度太高，所以虽然觊觎（努力求解）者甚多，但至今全世界依然无人能够摘取。但有一个“数学皇冠上的塑料珠”却是几乎人人容易获得的。 “数学皇冠上的塑料珠”：对于任意正整数 N，将其各位数字相加，再乘3，再加1，如此重复操作，最终结果必定是13。

小赌怡情 “小赌怡情，大赌伤人“。所以，他和她只玩小钱游戏，以博一乐。游戏规则是：　　开局前，他和她每人拿出两枚硬币。　　然后，两人轮流抛硬币，每次只抛一枚。　　如果硬币的正面向上，则抛币者继续拥有这枚硬币。　　如果硬币的背面向上，则这枚硬币就输给对方。　　如果抛币者输掉的是最后一枚硬币，游戏立即结束这一次双节长假，两人决定大战100回合。为淘她欢心，他让她选择每次都当先手还是后手。她很想赢。那么，问题来了：她应该选择先手还是后手？还是先后手都一样，索性假装大度，表示无所谓？ 100回合结束后，她可以期望拥有多少枚硬币（包括初始的200枚）？

寻宝 Jason Rothenberg 在他曾经当过海盗头领的曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面记录了一批埋藏了多年的宝藏。它是这样写的： -------------------------------------------------------------------------------------------- 　　乘船至北纬xxxxx度、西经xxxxx度，即可找到一座荒岛。　　岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树。　　还有一座绞刑台，那是我们过去用来绞死叛变者用的。　　从绞架走到橡树，记住走了多少步。　　到了橡树向右拐个直角，再走这么多步，在这里打个木桩。　　然后，回到绞架那里。　　再从绞架走到松树，记住走了多少步。　　到了松树向左拐个直角，再走这么多步，在这里也打个木桩。　　在两个木桩的正当中挖掘，就可找到宝藏。 --------------------------------------------------------------------------------------------- 这道指示说的很清楚、明白。 Jason 立即租船出海，找到这座岛，也找到了橡树和松树。但使他大失所望的是，绞刑架不见了。经过几十年的风吹日晒雨淋，绞刑架已经糟烂成土，一点痕迹也看不出了。 Jason陷入了绝望。狂乱中，他在岛上到处乱掘乱挖，但一切都是白费力气。最后，他只好两手空空、垂头丧气地启帆回程了。现在，那批宝藏恐怕还在那岛上埋着呢！你是否想得到这笔意外巨财？你是否觉得能避免Jason的悲剧，顺利找到宝藏？如果你满怀发财欲望，也自认为有足够智力找到宝藏，请联系123-4567890，索取上面被隐去的藏宝岛经纬坐标。

填表下面来个简单一点的。有点儿像智力题，但更像数学题。把正整数1, 2, 3, ……, m×n分别填写到由m×n个方格构成的表格中，每个方格中填一个数字。要求是：每一行中，右边方格中的数字比左边方格中的数字大；　　　　每一列中，上边方格中的数字比下边方格中的数字大。问：有几种填表方法？

棋道两个人玩下棋游戏：　　两人轮流在由n×n格（n ≧ 2）构成的棋盘的方格中摆放棋子，直至摆满棋盘。摆放棋子的规则是：　　每人每次摆放 1～n 枚棋子，且必须放置在一列或一排中的连续空格里。输赢判定的规则是：　　放置最后一枚棋子的人为输。问：（1）这个游戏有没有必胜策略？　　（2）如果有，请给出具体策略。如果没有，请给出证明。

已知：图形A中的任意两点之间的距离不大于1。图形B可以完美覆已知：图形A中的任意两点之间的距离不大于1。图形B可以完美覆盖任意形状的图形A。问： (1) 图形A的最大面积 = ？ (2) 图形B的最小面积 = ？

尺规作图【题】已知：L1是平面上的一条直线。平面上有A、B两尺规作图【题】已知： L1是平面上的一条直线。平面上有A、B两点分别位于L1的两侧。平面上另有一条线段L2，其长度d大于A、B两点间的距离AB。求：用圆规和无刻度的直尺作图，找出直线L1上的点M，使得M点到A点的距离和M点到B点的距离之和等于d。

最佳实验方案？【题】为了检测某新产品的抗摔性能，需要在高楼上向下投放产品进行测试。如果产品在楼层N-1投下后完好无损，而在楼层N投下后有损坏，则认定该产品的抗摔性能为N。已知： 1）若从某层投下后有损坏，则从该层以上投下时也必定损坏。 2）若从某层投下后有损坏，则不能确定从该层以下投下时是否损坏。 3）若从某层投下后没有损坏，则从该层以下投下时也必定不会损坏。 4）若从某层投下后有损坏，则该只产品即告失效，不能再次使用。 5）若从某层投下后没有损坏，则该只产品的性能不受影响，可视同全新产品继续使用。某产品实验员携带了3只该产品，利用一座120层高的专用试验塔进行测试。为提高效率减少工作量，该实验员决定事先制定出最佳实验方案，用最少的实验次数（即从楼上投下产品的次数）M，准确无误地测出N（1≤N≤120）值。问：M的值是多少？

最小面积是多少？【题】已知：图形A中的任意两点之间的距离不大于1。图形B可以完美覆盖任意形状的图形A。问：图形B的最小面积是多少？

等于多少？黑板上写有一个不完整的减法算式：2口口口口-1口口口口 = 甲乙两人合作把算式写完整，方法是：首先，由甲报一个数字，然后由乙把这个数字填写到8个方框中的某一个；然后，甲再报下一个数字，由乙来写到另一个方框； …………；如此重复，直到8个方框都被写入数字。乙填写数字时，甲在旁边全程监看。甲总想使得算式的值尽量大，而乙总想使得算式的值尽量小。如果甲乙两人都足够聪明且不失误，那么，最终，算式的值等于多少？

首发一个竞赛题【题】(201分) 一个圆的圆心在X-Y座标平面的整数点上，半径为R，其圆周通过了2020个整数点。 1. 求证：R是整数，或者√2R是偶整数。(1分) 2. 求证：R的值有无穷多解。(100分) 3. 求：R的最小值。(100分)

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