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三角函数 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。   由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。   三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。   基本初等内容   它有六种基本函数(初等基本表示):   函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割   在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有   正弦函数 sinθ=y/r   余弦函数 cosθ=x/r   正切函数 tanθ=y/x   余切函数 cotθ=x/y   正割函数 secθ=r/x   余割函数 cscθ=r/y   (斜边为r,对边为y,邻边为x。)   以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:   正矢函数 versinθ =1-cosθ   余矢函数 coversθ =1-sinθ   正弦(sin):角α的对边比上斜边    余弦(cos):角α的邻边比上斜边    正切(tan):角α的对边比上邻边    余切(cot):角α的邻边比上对边    正割(sec):角α的斜边比上邻边    余割(csc):角α的斜边比上对边 [编辑本段]同角三角函数间的基本关系式:   ·平方关系:   sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2    tan^2(α)+1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)/2   cot^2(α)+1=csc^2(α)   ·积的关系:   sinα=tanα*cosα   cosα=cotα*sinα   tanα=sinα*secα    cotα=cosα*cscα   secα=tanα*cscα    cscα=secα*cotα   ·倒数关系:   tanα·cotα=1   sinα·cscα=1   cosα·secα=1    直角三角形ABC中,    角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,    余弦等于角A的邻边比斜边    正切等于对边比邻边,   ·三角函数恒等变形公式   ·两角和与差的三角函数:   cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ   cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ   sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ   tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)   tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)   ·三角和的三角函数:   sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ   cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ   tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)   ·辅助角公式:   Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中   sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)   cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)   tant=B/A   Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B   ·倍角公式:   sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)   cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)   tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]   ·三倍角公式:   sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)   cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα   ·半角公式:   sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
部分高中物理定理 物理定理质点的运动(1)------直线运动 1)匀变速直线运动 1.平均速度V平=s/t(定义式) 2.有用推论Vt2-Vo2=2as 3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt=Vo+at 5.中间位置速度Vs/2=[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t 7.加速度a=(Vt-Vo)/t {以Vo为正方向,a与Vo同向(加速)a>0;反向则a<0} 8.实验用推论Δs=aT2 {Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差} 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s;加速度(a):m/s2;末速度(Vt):m/s;时间(t)秒(s);位移(s):米(m);路程:米;速度单位换算:1m/s=3.6km/h。注: (1)平均速度是矢量; (2)物体速度大,加速度不一定大; (3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式,不是决定式; (4)其它相关内容:质点、位移和路程、参考系、时间与时刻〔见第一册P19〕/s--t图、v--t图/速度与速率、瞬时速度〔见第一册P24〕。 2)自由落体运动 1.初速度Vo=0 2.末速度Vt=gt 3.下落高度h=gt2/2(从Vo位置向下计算) 4.推论Vt2=2gh 注: (1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动,遵循匀变速直线运动规律; (2)a=g=9.8m/s2≈10m/s2(重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小,方向竖直向下)。(3)竖直上抛运动 1.位移s=Vot-gt2/2 2.末速度Vt=Vo-gt (g=9.8m/s2≈10m/s2) 3.有用推论Vt2-Vo2=-2gs 4.上升最大高度Hm=Vo2/2g(抛出点算起) 5.往返时间t=2Vo/g (从抛出落回原位置的时间)注: (1)全过程处理:是匀减速直线运动,以向上为正方向,加速度取负值; (2)分段处理:向上为匀减速直线运动,向下为自由落体运动,具有对称性; (3)上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。二、质点的运动(2)<----曲线运动、万有引力 1>平抛运动 :1.水平方向速度:Vx=Vo 2.竖直方向速度:Vy=gt 3.水平方向位移:x=Vot 4.竖直方向位移:y=gt2/2 5.运动时间t=(2y/g)1/2(通常又表示为(2h/g)1/2) 6.合速度Vt=(Vx2+Vy2)1/2=[Vo2+(gt)2]1/2 合速度方向与水平夹角β:tgβ=Vy/Vx=gt/V0 7.合位移:s=(x2+y2)1/2, 位移方向与水平夹角α:tgα=y/x=gt/2Vo 8.水平方向加速度:ax=0;竖直方向加速度:ay=g 注: (1)平抛运动是匀变速曲线运动,加速度为g,通常可看作是水平方向的匀速直线运与竖直方向的自由落体运动的合成; (2)运动时间由下落高度h(y)决定与水平抛出速度无关;(3)θ与β的关系为tgβ=2tgα;(4)在平抛运动中时间t是解题关键;(5)做曲线运动的物体必有加速度,当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时,物体做曲线运动。 <2>匀速圆周运动 1.线速度V=s/t=2πr/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf 3.向心加速度a=V2/r=ω2r=(2π/T)2r 4.向心力F心=mV2/r=mω2r=mr(2π/T)2=mωv=F合 5.周期与频率:T=1/f 6.角速度与线速度的关系:V=ωr 7.角速度与转速的关系ω=2πn(此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位:弧长(s):米(m);角度(Φ):弧度(rad);频率(f):赫(Hz);周期(T):秒(s);转速(n):r/s;半径(r):米(m);线速度(V):m/s;角速度(ω):rad/s;向心加速度:m/s2。注:(1)向心力可以由某个具体力提供,也可以由合力提供,还可以由分力提供,方向始终与速度方向垂直,指向圆心;(2)做匀速圆周运动的物体,其向心力等于合力,并且向心力只改变速度的方向,不改变速度的大小,因此物体的动能保持不变,向心力不做功,但动量不断改变。< 3>万有引力: 1.开普勒第三定律:T2/R3=K(=4π2/GM){R:轨道半径,T:周期,K:常量(与行星质量无关,取决于中心天体的质量)} 2.万有引力定律:F=Gm1m2/r2 (G=6.67×10-11N•m2/kg2,方向在它们的连线上) 3.天体上的重力和重力加速度:GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R:天体半径(m),M:天体质量(kg)} 4.卫星绕行速度、角速度、周期:V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M:中心天体质量} 5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km,h:距地球表面的高度,r地:地球的半径}注: (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向=F万; (2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等; (3)地球同步卫星只能运行于赤道上空,运行周期和地球自转周期相同; (4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小(一同三反); (5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。三、力(常见的力、力的合成与分解) 1)常见的力 1.重力G=mg (方向竖直向下,g=9.8m/s2≈10m/s2,作用点在重心,适用于地球表面附近) 2.胡克定律F=kx {方向沿恢复形变方向,k:劲度系数(N/m),x:形变量(m)}
18个文言虚词的用法及其举例 1.【而】 (一)用作连词。 1.表示并列关系。一般不译,有时可译为“又” 。 ①蟹六跪而二螯,非蛇鳝之穴无可寄者(《劝学》) ②剑阁峥嵘而崔嵬,一夫当关,万夫莫开(《蜀道难》) ③北救赵而西却秦,此五霸之伐也(《信陵君窃符救赵》) 2.表示递进关系。可译为"并且"或"而且"。 ①君子博学而日参省乎己。(《劝学》) ②楚怀王贪而信张仪,遂绝齐(《屈原列传》) ③回视日观以西峰,或得日,或否,绛皜驳色,而皆若偻(《登泰山记》) ④以其求思之深而无不在也(《游褒禅山记》) 3.表示承接关系。可译为"就""接着",或不译。 ①故舍汝而旅食京师,以求斗斛之禄(《陈情表》) ②置之地,拔剑撞而破之。(《鸿门宴》) ③人非生而知之者,孰能无惑(《师说》) 4.表示转折关系。可译为"但是""却"。 ①青,取之于蓝,而青于蓝(《劝学》) ②有如此之势,而为秦人积威之所劫(《六国论》) ③信也,吾兄之盛德而夭其嗣乎(《陈情表》) 5.表示假设关系。可译为"如果""假如"。 ①诸君而有意,瞻予马首可也。(《冯婉贞》) ②死而有知,其几何离(《祭十二郎文》) 6.表示修饰关系,即连接状语。可不译。 ①吾尝跂而望矣,不如登高之博见也(《劝学》) ②填然鼓之,兵刃既接,弃甲曳兵而走(《寡人之于国也》) ③项王按剑而跽曰:“客何为者?”(《鸿门宴》) 7.表示因果关系, ①余亦悔其随之而不得极夫游之乐也(《游褒禅山记》) ②表恶其能而不用也(《赤壁之战》) 8.表示目的关系, ①缦立远视,而望幸焉(《阿房宫赋》) ②籍吏民,封府库,而待将军(《鸿门宴》) (二)通“尔”,用作代词,第二人称,译为"你的";偶尔也作主语,译为"你"。 ①而翁归,自与汝复算耳(《促织》) ②妪每谓余曰:“某所,而母立于兹(《项脊轩志》) (三)通“如”:好像,如同。 ①军惊而坏都舍。(《察今》) 【而已】放在句末,表示限止的语气助词,相当于“罢了”。 ①未几而摇头顿足者,得数十人而已(《虎丘记》) ②闻道有先后,术业有专攻,如是而已(《师说》) ③我决起而飞,枪榆枋而止,时则不至,而控于地而已矣(《逍遥游》) 【而后】才,方才。 ①臣鞠躬尽瘁,死而后已。 ②三月而后成。 【而况】即“何况”,用反问的语气表示更进一层的意思。 ①今以钟磬置水中,虽大风浪不能鸣也。而况石乎! ②技经肯綮之未尝,而况大軱乎! 臣虽下愚,知其不可,而况于明哲乎(《谏太宗十思疏》) 【既而】不久,一会儿。 ①既而以吴民之乱请于朝,按诛五人(《五人墓碑记》) ②既而得其尸于井,因而化怒为悲,抢呼欲绝(《促织》) ③既而将诉于舅姑,舅姑爱其子,不能御(《柳毅传》)
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