同予者何人🫤的个人资料

Lorenzini笔记----黎曼-罗赫定理首先定义一些记号：GG是一个连通无向图，有nn个顶点（记为v1,v2,⋯,vnv1,v2,⋯,vn），mm条边,且无自循环。AA为GG的领接矩阵，即为(aij)(aij)，其中aijaij为vivi与vjvj(i≠ji≠j)之间边的个数，aii=0aii=0。图的Laplacian是D−AD−A,其中DD是对角阵，diag(d1,d2,⋯,dn)diag(d1,d2,⋯,dn),其中didi为aiai的度，即连接到vivi的边的个数。 1.图的Laplacian以及Smith标准型对于一个图的Laplacian来说，在代数图论中研究的大多是它的特征值。而在矩阵理论中，除了特征值以外还有其他一些不变量，比如说Smith标准型。定义1 （Smith标准型）整系数矩阵MM的Smith标准型是SNF=diag(δ1,δ2⋯,δn)SNF=diag(δ1,δ2⋯,δn),其中δ1⋯δi=Δiδ1⋯δi=Δi,其中ΔiΔi是MM的所有ii阶子式的最大公因数。注意到它同样有一个等价定义，也就是说，m×nm×n阶矩阵MM的Smith标准型是SMTSMT,其中S,TS,T分别为m×mm×m以及n×nn×n阶的矩阵。使得SMTSMT为对角阵diag(δ1,δ2⋯,δn)diag(δ1,δ2⋯,δn),使得δ1|δ2|⋯|δnδ1|δ2|⋯|δn,其中δi∈Zδi∈Z。同样我们可以注意到，当detM=0detM=0的时候，δn=0δn=0。我们知道，对于Laplacian矩阵MM的特征值λ1,⋯,λnλ1,⋯,λn,可以使λ1≥λ2≥⋯≥λn=0λ1≥λ2≥⋯≥λn=0。而图的生成树的个数不是别的，就是#(生成树)=1nλ1⋯λn−1.#(生成树)=1nλ1⋯λn−1.这是代数图论中经典的Kirchhoff定理。通过Smith标准型的第一个定义，我们同样可以容易知道#(生成树)=δ1⋯δn−1.#(生成树)=δ1⋯δn−1.（通过对Kirchhoff定理的证明可以看出，图的生成树个数正是Laplacian的任意一个n−1n−1阶子式的行列式绝对值） Smith标准型与特征值的联系不仅限于此，如果我们定义μμ为相异特征值的乘积，那么如下定理成立定理2 （Smith标准型与特征值联系） μ∈Zμ∈Z n|μn|μ δn−1|μδn−1|μ,但是一般来说，δn−1∤μnδn−1∤μn 定理的证明可见Lorenzini的文章。 2.算术图(Arithmetical graph)以及Picard群每一个图，我们都有一个Laplacian矩阵MM。而我们又知道，M(1,1,⋯,1)′=0M(1,1,⋯,1)′=0,所以我们可否将Laplacian的概念推广呢？这样就引出了“算术图”的想法。定义3 (算术图) 算术图是三元组(G,M,R)(G,M,R)使得以下成立： GG为图 M=C−AM=C−A,其中AA为领接矩阵，CC为系数为正整数的对角阵,记为diag(c1,c2,⋯,cn)diag(c1,c2,⋯,cn)。 R=(r1,r2,⋯,rn)′R=(r1,r2,⋯,rn)′,其中ri>0ri>0,且同有ri∈Zri∈Z，且gcd(r1,⋯,rn)=1gcd(r1,⋯,rn)=1。 MR=0MR=0 一个简单的例子是Extended Dynkin Diagram赋予如下数字：其中黑色数字代表了向量RR赋予的值，而红色的数字则是对角阵MM赋予的值，通过计算很容易可以验证MR=0MR=0如下有了算术图的定义，我们可以定义它的不变量，即Picard群。这个群来源于代数几何的想法。定义4 （Picard群）整数群ZZ模去MM的像Zn/Im(M)Zn/Im(M)称为算术图的Picard群,记为Pic(G)Pic(G)。同时我们定义degree map为deg:Zn/Im(M)→Zdeg:Zn/Im(M)→Z,使得(s1,s2,⋯,sn)↦∑ni=1risi(s1,s2,⋯,sn)↦∑i=1nrisi,其中riri即为算术图中RR的元素。有了这一定义，我们就可以得到有限阿贝尔群ΦM=ker(deg)ΦM=ker⁡(deg)。可以证明，如果diag(δ1,δ2,⋯,δn−1,0)diag(δ1,δ2,⋯,δn−1,0)为Smith标准型，就有ΦM≅Z/δ1Z×Z/δ2Z×⋯×Z/δn−1Z.ΦM≅Z/δ1Z×Z/δ2Z×⋯×Z/δn−1Z. 注记：由此可以看出ΦMΦM是循环群当且仅当SNF=diag(1,⋯,1,δn−1,0)SNF=diag(1,⋯,1,δn−1,0)。于是特别地，考虑MM为GG的Laplacian，如果GG的生成树的个数无平方因子，自然就有ΦMΦM是循环群。而ΦMΦM是循环群的GG占了很大比例。以下是两个结论： Chen-Ye(2008) 给定图GG,存在同构的图G′G′,由GG的细分（至多m−nm−n条边）给出，且ΦM′ΦM′是循环群。 Wood(2014) 对于nn点的Erdos-Renyi随机图，当n→∞n→∞时， (a) |ΦM||ΦM|无平方因子的概率约为48.2%48.2% (b)ΦMΦM是循环群的概率约为79.3%79.3% 3.算术图的不变量 (1)第一贝蒂数：β(G)=m−n+1β(G)=m−n+1,相当于图中不相关的“圈”的个数，就是将所有的边个数减去生成树的长度即为不相关圈的个数。 (2)亏格： g0(G,M,R)g0(G,M,R)，定义为2g0(G)−2=n∑i=1ri(di−2).2g0(G)−2=∑i=1nri(di−2).注意到这样一个亏格和我们通常所说的图的亏格（可嵌入多少亏格的曲面使得边不相交）不一样。因为K3,3K3,3和K5K5都有图亏格11，但是简单计算就可发现g0(K3,3)=4g0(K3,3)=4，g0(K5)=6g0(K5)=6。简单计算可以发现，2g0(G)−2β(G)=n∑i=1(ri−1)(di−1).2g0(G)−2β(G)=∑i=1n(ri−1)(di−1).故而有如下定理。图的亏格的几何意义可见下定理链接中的引文[7]与[8]。定理5(Lorenzini,1989) g0(G)g0(G)为整数 g0(G)≥β(G)≥0g0(G)≥β(G)≥0 (3)gg-数： gg-数的定义如下。我们知道deg:Pic(G)=Zn/Im(M)→Zdeg:Pic(G)=Zn/Im(M)→Z将ΦMΦM映射至00,那么gg-数是最小的整数，满足对于任意deg[D]≥gdeg⁡[D]≥g的代表元[D]∈Pic(G)[D]∈Pic(G),存在V∈Im(M)V∈Im(M)使得D+VD+V在第一卦限（也即D+VD+V的各个坐标都大于00）存在deg[D]=g−1deg⁡[D]=g−1使得∀V∈Im(M)∀V∈Im(M),都有D+VD+V不可能在第一卦限。这样的gg存在吗？存在性已经被证明，而以下的标志性的定理找出了一般图的解：定理6(Baker & Norine, 2006) 若GG为一般的图，且R=(1,1⋯,1)′R=(1,1⋯,1)′,那么g=β(G)g=β(G)。而这一定理同样也关乎图的黎曼-罗赫结构。两人首次提出了图上的黎曼-罗赫结构，而Lorenzini则进一步提出了如下定理：定理7（Lorenzini,2011）如果g(G)=g0(G)g(G)=g0(G),那么图上就有黎曼-罗赫结构。黎曼-罗赫结构将在下一节提到。这节最后再给出一些对不变量关系的估计。定理8 令(G,M,R)(G,M,R)为算术树（也即算术图中的GG为树），那么 |ΦM|=∏ni=1rdi−2i∈N|ΦM|=∏i=1nridi−2∈N |ΦM|≤4g0(G)|ΦM|≤4g0(G) 若pp为整除|ΦG||ΦG|的素数，那么p≤2g0(G)+1p≤2g0(G)+1 通过第二个等式，且我们知道g≤g0g≤g0，那么是否有|ΦM|≤4g|ΦM|≤4g呢？现在还不得而知。对于ΦGΦG这个群生成元的估计。在普通的图GG中，ΦGΦG可以被β(G)β(G)个元素生成。而对于一般的算术图的结果如下：定理9 令(G,M,R)(G,M,R)为无重边的算术图，且假定对于某个ii有ri=1ri=1。那么SNF(M)=diag(δ1,⋯,δn−1−β,δn−β,⋯,δn−1,0)SNF(M)=diag(δ1,⋯,δn−1−β,δn−β,⋯,δn−1,0)其中Δn−1−β=δ1⋯δn−1−βΔn−1−β=δ1⋯δn−1−β有Δn−1−β|∏ni=1rdi−2iΔn−1−β|∏i=1nridi−2 4.图上的黎曼-罗赫定理与双变量Zeta函数(Two-variable zeta function) 动机是来自于代数几何的黎曼罗赫定理。XX是CC上的射影曲线（即CP2CP2中齐次函数F(x,y,z)F(x,y,z)的解）。ff是定义在射影曲线上的亚纯函数，且有有限个零点与极点。那么定义ff的divdiv为div(f)=∑P∈Xm(P)Pdiv(f)=∑P∈Xm(P)P,其中m(P)m(P)为重数。在m(P)>0m(P)>0为零点，m(P)<0m(P)<0为极点。而一个重要的结论是，零点与极点的个数相同！也即∑Pm(P)=0∑Pm(P)=0。而类似地，我们可以定义“除子”(Divisor)DD为D=∑PaPPD=∑PaPP,是为关于PP的形式和，其中aP∈ZaP∈Z且为有限和。定义度函数deg(D)=∑PaP.deg⁡(D)=∑PaP.从定义可以看出deg∘div=0deg∘div=0。同时对于任意的除子DD,我们可以赋予它另外一个整数h0(D)h0(D),定义为h0(D)=dimCH0(X,OD),OD={f|f只在aP≠0的地方有极点，且m(P)≥−aP}h0(D)=dimC⁡H0(X,OD),OD={f|f只在aP≠0的地方有极点，且m(P)≥−aP}是为ODOD层的上同调群的维数。对于这样的结构，定义[D][D]为DD的等价类，即为{D′|∃f,D′=D+div(f)}{D′|∃f,D′=D+div(f)}。那么就有经典的黎曼-罗赫定理(Riemann-Roch)如下定理10(黎曼-罗赫)存在典范类(Canonical class)[K][K]使得对于任意DD都有h0(D)=deg(D)+1−g+h0(K−D)h0(D)=deg⁡(D)+1−g+h0(K−D) 而在代数几何中，[D][D]的类构成了维数gg的代数簇上的所有点，称为Picard簇Pic(X)Pic(X)。而[D][D]满足deg(D)=0deg⁡(D)=0的子类被称为曲线XX的Jacobian。对应的图论中来，注意到前面我们其实已经提到了和代数几何这些结果相仿的定义，比如Picard群，ΦMΦM等等。前面一直没有说明的ΦMΦM有了它的名字，称为雅可比簇(Jacobian Variety)，它的阶记为GG的生成树的个数。而典范类[K][K]定义为[(d1−2,⋯,dn−2)][(d1−2,⋯,dn−2)]。 Baker与Norine首次给出了图上的黎曼-罗赫定理。他们赋予每个除子DD(或者说Picard群的元素)的h0(D)h0(D)，且证明了图上的黎曼-罗赫定理h0(D)=deg(D)+1−β(G)+h0(K−D)h0(D)=deg⁡(D)+1−β(G)+h0(K−D)对于h0(D)h0(D)的定义将在之后提到。如果我们有了h0:Pic(G)→Zh0:Pic(G)→Z,那么我们就可以定义一个zeta函数Zh(G,u,t)=∑[D]∈Pic(G)uh0(D)−1u−1tdeg(D).Zh(G,u,t)=∑[D]∈Pic(G)uh0(D)−1u−1tdeg⁡(D).而一个稍微变化的定义是Wh(G,x,y)=∑[D]∈Pic(G)xh0(G)yh0(K−D).Wh(G,x,y)=∑[D]∈Pic(G)xh0(G)yh0(K−D).这个zeta函数的定理动机来自与有限域上的曲线上的zeta函数：令pp为素数Z/pZ=Fp≤FpsZ/pZ=Fp≤Fps。令X/FpX/Fp为光滑射影曲线（比如P2P2上的齐次F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0），那么令asas为在系数为FpsFps中时，曲线方程解的个数。那么有限域中与黎曼zeta相对应的zeta函数为：Z(X/Fp,T)=exp(∞∑s=1asTss)=∑[D]∈Pic(X)ph(D)−1p−1Tdeg(D)Z(X/Fp,T)=exp⁡(∑s=1∞asTss)=∑[D]∈Pic(X)ph(D)−1p−1Tdeg⁡(D)与我们这里的zeta函数类似。这样的zeta函数同样又给出了图的一个不变量。最后给出h0(D)h0(D)的定义以及一些性质（等价意思是相差一个Im(M)Im(M)的元素）：定义11（h0(D)h0(D)）定义E∈ZnE∈Zn是“有效的”当E≥0E≥0,也就是EE的每个坐标都大于等于00。如果deg(D)<0deg⁡(D)<0，则令h0(D)=0h0(D)=0。如果deg(D)≥0deg⁡(D)≥0,定义h0(D)h0(D)为h0(D)=min{deg(E)|E≥0且D−E不等价于一个有效的元素}h0(D)=min{deg⁡(E)|E≥0且D−E不等价于一个有效的元素} 注意到这儿的定义其实类似前面我们所说的g−g−数。不过g−g−数相当于一个全局的不变量。于是我们有如下的性质： h0(D)≥0h0(D)≥0这个通过定义显然若DD不等价与一个有效的元素，那么h0(D)=0h0(D)=0,由于定义中集合包含了E=0E=0。 h0(D)≤deg(D)+1h0(D)≤deg⁡(D)+1,更进一步，只可能在如下图的区域内有点我曾经问在deg(D)deg⁡(D)不变的时候是否能够变量区域中竖线交的所有点，不过还没有开始计算。若deg(D)≥2β(G)−1deg⁡(D)≥2β(G)−1,那么h0(D)=deg(D)+1−β(G)h0(D)=deg⁡(D)+1−β(G) 对于不变量zeta函数，我们同样也有一些比较好的性质，定理的证明都可以在[3]中找到。定理12 有理性，Zh(G,u,t)=f(u,t)(1−t)(1−ut),Zh(G,u,t)=f(u,t)(1−t)(1−ut),其中f(u,t)∈Z[u,t]f(u,t)∈Z[u,t],有形式f(u,t)=1+c1(u)t+c2(u)t2+⋯+cg(u)tg+ucg−1(u)tg+1+u2cg−2(u)tg+2+ugt2g.f(u,t)=1+c1(u)t+c2(u)t2+⋯+cg(u)tg+ucg−1(u)tg+1+u2cg−2(u)tg+2+ugt2g. f(u,t)f(u,t)在C[u,t]C[u,t]中不可约。 f(1,u)=#G的生成树f(1,u)=#G的生成树。 Z(u,1ut)=(ut2)1−gZ(u,t)Z(u,1ut)=(ut2)1−gZ(u,t) 若G为树，则Z(G,u,t)=1(1−t)(1−ut)

SPBU线上讲座笔记：黎曼几何、曲率、Ricci流以及三维流形应用 1. 黎曼曲面上的联络黎曼流形(Mn,g)(Mn,g)中，MM为nn维流形，而gg为正定的黎曼度量，即gij(x1,x2,⋯,xn)dxi⊗dxjgij(x1,x2,⋯,xn)dxi⊗dxj，而(gij)(gij)是对称正定的。 ∇∇是联络(我们可以把它看成“方向导数”(∇X∇X为求XX方向))，它的定义域与值域为∇:Vect(M)⊗RVect(M)×Vect(M)∇:Vect(M)⊗RVect(M)×Vect(M)，也即将两个MM上的向量场映射到MM上的向量场，即∇X(Y)∈Vect(M)∇X(Y)∈Vect(M).且满足如下三条性质：线性性，即关于XX的f∈C∞(M)f∈C∞(M)线性，有∇fX+Y(Z)=f∇X(Z)+∇Y(Z)∇fX+Y(Z)=f∇X(Z)+∇Y(Z) 但是注意到关于第二个值并没有C∞M)C∞M)线性，就是∇X(fY)=f∇X(Y)+X(f)⋅Y∇X(fY)=f∇X(Y)+X(f)⋅Y X(⟨Y1,Y2⟩)=⟨∇X(Y1),Y2⟩+⟨Y1,∇X(Y2)⟩X(⟨Y1,Y2⟩)=⟨∇X(Y1),Y2⟩+⟨Y1,∇X(Y2)⟩,这表示“与度量相容”，也就是∇X(g)=0∇X(g)=0.为什么会这样呢？我们本来想象需要对Y1,Y2Y1,Y2以及g分别求“方向导数”，而只有两项留下来了，也就是对度量求“导数”会恒为0. 无挠，也就是∇X(Y)−∇Y(X)=[X,Y]∇X(Y)−∇Y(X)=[X,Y].这个定义Morgan认为他不是很明白，因为∇X(Y)∇X(Y)同样可以定义为∇:Vect(M)⊗RΓ(E)→Γ(E)∇:Vect(M)⊗RΓ(E)→Γ(E), 其中Γ(E)Γ(E)是向量丛的截面。而无挠性不能延伸到这个定义域上，因为∇Y∇Y没有意义。满足如上三个性质的联络成为Levi-Civita联络。于是我们有如下定理：定理：Levi-Civita联络存在唯一（笔者按：Levi-Civita可以用2⟨∇XY,Z⟩=X⟨Y,Z⟩−Z⟨Y,X⟩+Y⟨Z,X⟩−⟨Z,[Y,X]⟩+⟨[Z,Y],X⟩−⟨Y,[X,Z]⟩2⟨∇XY,Z⟩=X⟨Y,Z⟩−Z⟨Y,X⟩+Y⟨Z,X⟩−⟨Z,[Y,X]⟩+⟨[Z,Y],X⟩−⟨Y,[X,Z]⟩来定义，满足以上条件）由于在局部，我们可以用∂i(i=1,2⋯n)∂i(i=1,2⋯n)来张成TxM|UTxM|U,我们可以令∇∂i(∂j)=Γkij∂k∇∂i(∂j)=Γijk∂k，(从而我们通过前面知道Γkij=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)Γijk=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij),从而惟一性成立） 2.测地线,高斯映射˙γ(t)∈Tγ(t)Mγ˙(t)∈Tγ(t)M,其中γ(t)=(x1(t),x2(t),⋯,xn(t))γ(t)=(x1(t),x2(t),⋯,xn(t))为MM上的曲线，˙γ=(˙x1(t),˙x2(t),⋯,˙xn(t))γ˙=(x˙1(t),x˙2(t),⋯,x˙n(t))为速度。曲率线方程即为∇˙γ(t)(˙γ(t))=0∇γ˙(t)(γ˙(t))=0。注意到∇∇作用在MM上的向量场上，而˙γγ˙并非向量场，所以我们需要把˙γγ˙延拓到全流形上。（笔者按：由于d2xkdt2+Γkijdxidtdxjdt=0d2xkdt2+Γijkdxidtdxjdt=0）由于常微分方程解的存在惟一性，给定了γ(0)γ(0)以及˙γ(0)γ˙(0),我们就得到一条测地线。也就是说，我们能够构造一个从Tγ(0)M→MTγ(0)M→M的映射，也即初始向量为此向量的测地线到达的MM上的点。我们设为exp:TxM→Mexp:TxM→M,在起点的领域B(0,ϵ)B(0,ϵ)上有定义。 3.曲率我们有了零阶的信息（度量），一阶信息（测地线、联络），那么二阶信息是什么呢？我们认为是曲率问题如下：一个度量的几何性质是怎么样的（我们能从度量的句子(gij)(gij)中获得什么信息）在单点上，实际上度量没有任何信息，所有的度量都是等价于标准的欧氏度量，我们可以通过坐标变换把矩阵变成对角阵，从而得到标准度量。这样的标准性能到几阶呢？似乎我们只能最多到2阶。曲率是唯一的几何不变量。而有定理:高斯度量完全由曲率决定（也就是局部来说，黎曼曲率包含了所有信息）我们还没有定义曲率，曲率定义如下：R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y],由于Levi-Civita联络的定义我们知道R(X,Y)f=0R(X,Y)f=0成立。引理：曲率对于X,YX,Y关于C∞(M)C∞(M)成立，即R(fX,Y)Z=fR(X,Y)ZR(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z,它对X,YX,Y反对称。奇迹的是，我们可以计算,对于ZZ关于C∞(M)C∞(M)成立，也就是R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)ZR(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z。所以我们可以定义4-张量，⟨R(X,Y)Z,W⟩⟨R(X,Y)Z,W⟩,对于四个变量都是线性的，从而定义Rlijk∂l=R(∂i,∂j)∂kRijkl∂l=R(∂i,∂j)∂k。将符号降下来，可以定义Rijkl=gmkRmijk=⟨R(∂i,∂j)∂l,∂k⟩Rijkl=gmkRijkm=⟨R(∂i,∂j)∂l,∂k⟩.,通过前面我们知道Rijkl(dxi∧dxj)⊗(dxl∧dxk)Rijkl(dxi∧dxj)⊗(dxl∧dxk)为在⋀2TM⋀2TM上的对称2-张量。黎曼定义的曲率来源于高斯曲率的定义也就是在曲面上一点附近的测地圆（也就是以|x|≤ϵ|x|≤ϵ为半径的TxMTxM上的向量用高斯映射映至的区域）和平面上的圆相差多少？高斯认为是 limϵ→012πϵ2−Area(B(p,ϵ))πϵ4limϵ→012πϵ2−Area(B(p,ϵ))πϵ4 定义为高斯曲率（实际上我们通常定义不是这样的，定义的等价性成为Bertrand–Diquet–Puiseux定理）此时，⋀2TM=R⋀2TM=R,而黎曼曲率R:R→RR:R→R仅为乘上高斯曲率。定理(Cartan)：我们有关于黎曼曲率RR对于度量exp∗(gij(x1,x2,⋯,xn))exp∗⁡(gij(x1,x2,⋯,xn))（被称为高斯度量）的公式。(Do carmo第八章第2节)也就是在指数映射exp:Rn→Mexp:Rn→M拉回,我们在Tp(M)=RnTp(M)=Rn原点附近有度量exp∗(g)=^gexp∗⁡(g)=g^。^gg^有基于RR的公式。（^gg^ is identity up to 2-nd order,这句话没懂是什么意思）也就是度量在坐标变换，也就是同胚群作用的意义下只与黎曼曲率相关。所以我们可以知道，如果一个度量在某个邻域内为欧氏度量当且仅当黎曼曲率为0. 最后我们给出Ricci曲率的定义：Ricijdxi⊗dxjRicijdxi⊗dxj为对称2-张量，有Ricij=gklRikljRicij=gklRiklj. 4.整体性质局部来看，在坐标变换的意义下，度量完全被曲率所决定。但是在整体性质却不一样，一般来说度量的性质不完全由曲率决定。黎曼流形除了曲率外有更多整体不变量。比如一个范例如下：对于紧平的曲面（黎曼曲率为0且有界），我们考虑环面(T2,g)(T2,g),(R2,g)(R2,g) 为欧氏空间,万有覆盖映射π:R2→T2π:R2→T2.由于T2T2的同伦群π1(T2)=H1(T2)⊂R2π1(T2)=H1(T2)⊂R2是格ΛΛ.从而T2≅R2/ΛT2≅R2/Λ为等距同构。我们就来研究格，格的基为v1,v2v1,v2用复数表示为v2=τv1,τ∈Cv2=τv1,τ∈C,我们选择定向，使得τ∈H2τ∈H2.而由于在行列式为11的整数矩阵变换下格不变，所以[τ]∈H2/SL2(Z)≅S2−{∞}[τ]∈H2/SL2(Z)≅S2−{∞}.同时R+=area(T2)R+=area(T2)，所以我们有一族平的环面构成的3维实空间，它们都有相同的度量（平整度量）对于更高的亏格会如何呢？对于Σg(g>1)Σg(g>1)，我们用(H2,g),g=dx2+dy2y2(H2,g),g=dx2+dy2y2进行覆盖，而H2H2在实2×22×2的矩阵下不变。所以ΣgΣg有H2/Γ,Γ⊂PSL2(R)H2/Γ,Γ⊂PSL2(R)给出。这样的双曲度量形成了6g−66g−6维的空间。但在更高维，情况就不一样了。我们可以类似地定义HnHn以及它的度量。同样具有常截曲率−1−1。而同理得到的流形Hn/ΓnHn/Γn 由于Mostow Rigidity定理，是唯一的。其中ΓnΓn为基本群。也就是说，例如在3维，固定了基本群，我们只能得到至多一个度量。 5.极限——几何极限与Gromov-Hausdorff极限如何定义一族流形{(Mn,gn,xn∈Mn)}∞n=1{(Mn,gn,xn∈Mn)}n=1∞趋近一个极限流形(M∞,g∞,x∞)(M∞,g∞,x∞)(其中xx为基点)?我们通过一个例子进行讲述：假如Mn=M,xn=xMn=M,xn=x,只有gn=λ2ng,λ2n→∞gn=λn2g,λn2→∞,在平常我们的想象中，应该有流形趋近于它的切空间，也就是(TxM,g|x)(TxM,g|x),就像一个无限大的球面在局部来看就趋于平面一样。我们来定义几何极限，也就是存在开区间Un⊂M∞,x∞∈Un⊂Un+1⊂⋯Un⊂M∞,x∞∈Un⊂Un+1⊂⋯,且 ⋃nUn=M∞⋃nUn=M∞，其中UnUn满足存在嵌入φn:Un↪Mn,φn(x∞)=xnφn:Un↪Mn,φn(x∞)=xn,且φ∗n(gn)→g∞φn∗(gn)→g∞在任意的紧集上一致收敛。就如一些例子：在基点选为红色的点，我们不断拉长拉瘪中间的柄，得到就是红色的流形，这也说明极限流形的拓扑性质会改变，亏格由3变为1。如果点在右边那段上，则收敛到的流形亏格为2. 但如果放在中间的柄上，最后会怎么样的？我们期望它收敛到一条直线，而这显然不可能由几何收敛做到，我们就引入Gromov-Hausdorff这种“弱收敛”来解决这个问题。以下是第二讲的内容。首先我们回顾了黎曼曲率的定义R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩R(X,Y,Z,W)=⟨R(X,Y)W,Z⟩,其中R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y]R(X,Y)=∇X∇Y−∇Y∇X−∇[X,Y].而截曲率是定义在TxMTxM的二维子空间PP上，令X,YX,Y为P的基，那么截曲率定义为R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩R(X,Y,X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩(这样定义黎曼曲率是由于，如果定义为⟨R(X,Y)X,Y⟩⟨R(X,Y)X,Y⟩,球的黎曼曲率会变为−1−1,与历史上定义球的高斯曲率为11不符。我们将在下面的计算中看到这点。) 6.球的截曲率的计算我们考虑球的赤道，只需要计算赤道上每一点的截曲率，由于对称性，我们就可以解出所有点的截曲率。令yy为“经度”，xx为“纬度”，且令X=∂x,Y=∂yX=∂x,Y=∂y,有⟨R(X,Y)Y,X⟩=⟨∇X∇Y(Y)−∇Y∇X(Y),X⟩⟨R(X,Y)Y,X⟩=⟨∇X∇Y(Y)−∇Y∇X(Y),X⟩ 由于YY是测地线，则∇Y(Y)=0∇Y(Y)=0，我们需要计算∇X(Y)∇X(Y).而由于我们需要对YY求方向导数，即考察yy方向在水平面上的投影向量求导，为−siny∂x−sin⁡y∂x,再乘以圆的半径cosycos⁡y,得到∇X(Y)=−cosysiny∂x∇X(Y)=−cos⁡ysin⁡y∂x.由于我们再考虑的是在y=0y=0的值，所以不考虑∇Y(∂x)∇Y(∂x)因为前面系数为0.从而有∇Y∇X(Y)=(sin2y−cos2y)|y=0=−1∇Y∇X(Y)=(sin2⁡y−cos2⁡y)|y=0=−1 从而⟨R(X,Y)Y,X⟩=1⟨R(X,Y)Y,X⟩=1成立 7.度量放大后黎曼曲率与Ricci曲率的变化接下来我们讨论是当度量放大λ2λ2倍后，即h=λ2gh=λ2g，各个曲率将会如何变化？我们计算得知黎曼曲率R(X,Y,Z,W)R(X,Y,Z,W)放大了λ2λ2倍，而Ricci曲率Ric(X,Z)Ric(X,Z)与原来相等。这是注意到前面提过的 ∇∂i(∂j)=Γkij∂k∇∂i(∂j)=Γijk∂k，且Γkij=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)Γijk=12glk(∂jgki+∂igjk−∂kgij)成立，也就是说，由于gijgij变为原来的λ2λ2倍，而glkglk变为原来的λ−2λ−2倍，也就是ΓΓ没有变化。那么∇X(Y)∇X(Y)也没有变化。但是由于内积⟨,⟩⟨,⟩变为原来的λ2λ2倍，就是R(X,Y,Z,W)R(X,Y,Z,W)变为原来的λ2λ2倍。但是我们会观察到，当球面增大的时候，它的高斯曲率反而变小了，这是因为向量的“减小”导致的。由于在新的度量下，原来的单位向量X,YX,Y必须变为新的单位向量λ−1X,λ−1Yλ−1X,λ−1Y.对于截曲率我们就有sech(P)=Rh(λ−1X,λ−1Y,λ−1X,λ−1Y)=λ−2Rg(X,Y,X,Y)=secg(P)sech⁡(P)=Rh(λ−1X,λ−1Y,λ−1X,λ−1Y)=λ−2Rg(X,Y,X,Y)=secg⁡(P) 而且对于Ricci曲率，我们计算得到Rich(X,Z)=∑Yi basisRh(X,Yi,Z,Yi)=∑Yi basisλ2Rg(X,λ−1Yi,Z,λ−1Yi)Rich(X,Z)=∑Yi basisRh(X,Yi,Z,Yi)=∑Yi basisλ2Rg(X,λ−1Yi,Z,λ−1Yi) 是由于YiYi是正交向量场，在原坐标下是λ−1Yiλ−1Yi才是正交向量场，也就是Ricci曲率没有变化。 8.Bishop-Gromov不等式我们同时给出黎曼曲面内著名的比较定理：Bishop-Gromov不等式 M为nn维完备流形，且Ricci曲率满足Ric≥(n−1)kRic≥(n−1)k,那么对于HnkHkn,也就是常截曲率kk(换言之，常Ricci曲率(n−1)k(n−1)k)的nn维流形。（k<0k<0双曲空间，k=0k=0欧氏空间，k>0k>0球面），那么对于∀x∈M,∀x0∈Hnk∀x∈M,∀x0∈Hkn,有函数f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x0,R))f(R)=vol(B(x,R))vol(B(x0,R))是关于RR非增的函数。其中这个定理在全局的意义下也成立，是由于M在R增大的时候B会倒塌。 9.Ricci流以及在某些特殊流形上的解 Ricci流的定义如下：在MM上的度量g(t)g(t)满足∂g(t)∂t=−2Ric(g(t))∂g(t)∂t=−2Ric(g(t)) 是弱双曲方程。它在短时间内是存在唯一的。具体刻画是：存在性：给定MnMn为紧的，度量g0g0,则∃ϵ>0,∃ϵ>0,存在光滑的g(t)(0≤t≤ϵ)g(t)(0≤t≤ϵ) ,满足g(0)=g0g(0)=g0且满足该方程。惟一性：对于g(t),h(t)g(t),h(t)为解，且g(0)=h(0)g(0)=h(0),那么在共同的定义域上g=hg=h。对于某些特殊流形我们可以研究Ricci流的显式解。比如Einstein流形，也就是(M,g)(M,g)为流形，且满足Ric(g0)=λg0Ric(g0)=λg0,其中λλ为常数。那么该Ricci流的解为g(t)=(1−2λt)g0g(t)=(1−2λt)g0。因为∂g(t)∂t=−2λg0=−2Ric(g0)=−2Ric(g(t))∂g(t)∂t=−2λg0=−2Ric(g0)=−2Ric(g(t)),最后一个等号成立是由于g(t)g(t)是g0g0的倍数，利用前面的放大性质得到。所以当λ>0λ>0,在t=1/2λt=1/2λ的时候为奇点，由于流形退化了。比如一个球会退化到一个点上，这种现象对于λ>0λ>0的黎曼流形都成立。当λ<0λ<0,g(t)g(t)对与所有tt成立。考虑g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg0→2|λ|g0g(t)/t=(1+2|λ|t)/tg0→2|λ|g0是一个有限的极限。这个极限也是Perelman用来在3维的Ricci流中寻找无穷远的双曲部分使用的方法。他考虑的是在体积不倒塌的区域上，取缩小为1/t1/t,那么这个区域与其度量收敛到双曲3维流形。其他可以计算Ricci流的方程为积流形，也就是两个流形的笛卡尔积。例如S2×RS2×R,有度量gs2+dt2gs2+dt2,在t→∞t→∞时候，原来的流形缩至一条直线。除了这些流形以为，我们没法给出更多整体的Ricci流的性质 10.怎么研究Ricci流？怎么研究Ricci流？我们有三种方法可以使用：直接计算方程，正是我们前面使用的极大值原理——在一定范围内控制数量曲率 Bishop-Gromov不等式的双曲形式第一个方法，我们使用对于体积的估计，我们知道，体积的定义是 vol(U)=∫U(det(g))1/2d→x,U⊂ coordinate patchvol(U)=∫U(det(g))1/2dx→,U⊂ coordinate patch 那么如果∂g(t)∂t=−2Ric(t)∂g(t)∂t=−2Ric(t),则ddtvol(U)=∫U−Rdvolddtvol(U)=∫U−Rdvol,其中RR为数量曲率。这是由于ddtvol(U)=∫U12(det(g))−1/2∂∂tdet(g)=∫U12(det(g))−1/2det(tr(∂∂tg))=∫12(det(g))−1/2tr(−2Ric)=−∫tr(Ric)dvol=−∫Rdvolddtvol(U)=∫U12(det(g))−1/2∂∂tdet(g)=∫U12(det(g))−1/2det(tr(∂∂tg))=∫12(det(g))−1/2tr(−2Ric)=−∫tr(Ric)dvol=−∫Rdvol 所以这也表明了，正的数量曲率代表这体积在变小，负的数量曲率体积变大第二个方法，就是∂R∂t=ΔR+2nR2+2|Ric0|2∂R∂t=ΔR+2nR2+2|Ric0|2 其中Ric0=Ric−RngRic0=Ric−Rng为迹0的Ricci曲率（也就是正交分解）。所以对于Rmin(t)=minx∈M(R(x,t))Rmin(t)=minx∈M(R(x,t)),我们有dRmin(t)dt≥2nR2min(t)dRmin(t)dt≥2nRmin2(t)成立，是由于其他两项都大于等于0.而同理可得对于固定的y,dR(y,t)dt≥2nR2(y,t)dR(y,t)dt≥2nR2(y,t).通过这里我们有两个推论。 1.Rmin(t)Rmin(t)单调递增 2.若Rmin(0)>0Rmin(0)>0，那么在有限时间内会爆破，也就是RminRmin达到无穷。而若Rmin(0)<0Rmin(0)<0 则Rmin(t)≥−n|Rmin(0)|2|Rmin(0)|t+nRmin(t)≥−n|Rmin(0)|2|Rmin(0)|t+n 也即它的渐进下界为−n/(2t)−n/(2t).

关于紧黎曼面的自同构群：证明Hurwitz theorem定理所有曲线都是 C 上的光滑射影代数曲线，所有映射都是代数的，也就是由有理函数确定的。不过对于曲线而言，紧 Riemann 面间的保定向共形映射和射影代数曲线间的（代数）映射是同一回事 X是亏格为g的紧黎曼面，下面考虑X的全纯自同构群 AutX ，用多种方法尝试证明著名的Hurwitz theorem：若g>1，则 AutX 是有限群，且阶不超过 84(g−1) ：任给有限群G，注意到范畴等价：一，C 上代数曲线 // 双有理等价 = C 上光滑射影曲线 = 紧黎曼面 = C 上一维代数函数域只需要说明存在一维代数函数域 K (即 C(x) 的有限扩张)，使得G是 AutK 的子群。由于 C(x) 上Galois逆问题已被肯定地解决，可知存在 K 使得 G=Gal(K/C(x))⊆AutK ，即证。二，假设G可由g个元 xi 生成，任取一个亏格g的紧黎曼面 X0 。则根据 π1(Σg) 的精确描述可以造一个 π1(Σg)→G 的映射( ai→xi,bi→1 )。根据covering space theory，映射的Kernel对应一个covering： X→X0 ，则X也成为一紧黎曼面，G作为全纯自同构作用在X上。（进而由Hurwitz formula知由n个元生成有限群可作用在亏格为 1+|G|(n−1) 的紧黎曼面上）然后，我们来验证有限性：若g>1，则 AutX 是有限群。且阶不超过 84(g−1) 方法一：根据单值化定理，X作为二维可定向闭曲面可赋一常曲率（ K≡−1K \equiv -1 ）的黎曼度量。利用Bochner技巧可得：对紧可定向黎曼流形M，其上Killing field V满足 12Δ|V|2=−Ric(V,V)+|∇V|2\frac{1}{2}\Delta|V|^2=-Ric(V,V)+|\nabla V|^2 两边积分可知：若M还具有负Ricc曲率，则M上Killing field只能是0。而Killing field是 M的等距自同构群（其为紧李群）的李代数，故其0维，因此等距自同构群 Iso(M)Iso(M) 有限。回到X，则X的全纯自同构也一定是X的等距自同构，由上知 #AutX<∞\#Aut X <\infty 方法二： AutXAut X 自然作用在X的全纯微分形式全体 H0(X,K)H^0(X,K) 上，根据Riemann-Roch定理+ample divisor的性质容易知此为忠实作用。 H0(X,K)H^0(X,K) 是g维复向量空间，其上有自然的非退化双线性型 (w1,w2)→−1∫Xw1∧w¯2(w_1,w_2) \rightarrow \sqrt{-1}\int_X w_1 \wedge \bar w_2 ，其被 AutXAut X 保持。另外根据指数序列 1→Z→O→O×→11 \rightarrow \mathbb Z \rightarrow O \rightarrow O^{\times} \rightarrow 1 以及Serre duality可得到 H1(X,Z)H^1(X,\mathbb Z) 可成为 H0(X,K)H^0(X,K) 中的Lattice，且被 AutXAut X 保持。而保持这两个结构的线性自同构只有有限多个，因此 AutXAutX 有限。

分享几个数学理论上的绝妙处理，以及一些相关命题 1、关于交换代数的局部化技巧的应用。在数论中，局部化首先给出了Dedekind整环的另一个等价定义，使得Dedekind环对素理想作局部化后就产生了赋值，也就有赋值诱导出的拓扑。局部化的技巧已经在数论中起到了不可替代的作用 2、证明有限群的所有有限维复表示都是半单的时候，在表示V上构造了一个 G不变正定Hermite二次型，其中 H0是任意的一个Hermite形式。这种“求平均”的思想在表示论中很常见，对于紧群，只需要把求和改成Haar积分就行了 3、复分析中对Rouche定理的证明，构造了一个只能取整数的连续函数，然后得出了结论

关于罗马尼亚数学大师赛上一道团灭中国队的题目的多种解法题目也非常新颖，用到了“有限个反例”这样的短语，带有浓重的数学科研色彩。如果我们想要正面解决这道题，唯一的办法似乎是在任意的一幅图里构造性地找到这样两个圈，但是题目又告诉我们，这个情况存在有有限个反例，几乎是在告诉我们此路不通了。正着走走不通，不如想想怎么迂回前进。那我们不妨换个角度：证明以下引理，通过这一引理来引出矛盾，实现反证。引理1：对于任意正实数ε，自然数N，证明对于命题拥有N个顶点，(1 + ε)N 条边的图存在长度小于εN的圈，只存在有限个反例。假设一幅图有N个顶点，有至少(1 + ε)N条边，且图中所有圈的长度都不一样，我们需要在N足够大的时候构造矛盾来证明这一假设不成立。那想象我们进行这样一种操作：我们找到图中最短的圈，从这个圈中移走一条边，那么这个圈就被我们破坏掉了。所以在新的图中，最短圈的长度比原来大，也就是围长在这个过程中严格地增长。那么如果我们重复这个过程εN/2次，剩下的图至少还有(1 + ε)N - εN/2 = (1 +ε /2)N条边。但是这个时候，因为我们重复了这个过程 εN/2次，剩下的图中要是还有圈，它的长度一定大于εN 。但是根据引理1，剩下的图中有(1+ε/2)N条边，则它一定有长度小于εN / 2的圈，出现矛盾。所以，并不可能在(1 + ε)N条边的图中所有简单圈长度各不相同，命题得证。于是剩下的部分我们就只需要证明上面的引理成立。为了证明引理1，首先我们考虑这样一个函数F，定义如下： F(N,g) 表示顶点数为N，围长最小为g的图余量的最大值。即，一个有N个顶点的图中，想要保证围长不小于g，那么这个图中最多可以有F(N,g) + N - 1条边。不难发现，想要证明上面的引理，我们需要研究的是F(N, εN)的性质。如果F(N, εN)是一个关于其第一个自变量的的“亚线性函数”（即增长速率低于线性函数的函数，比如对数函数、平方根函数），那么我们就知道，为了保证一个有N个顶点的图的围长不小于εN，则这个图的余量只能是一个N的亚线性函数，那么一个有N个顶点, (1 + ε)N条边的图的围长在N足够大的时候自然一定小于εN，引理1因此得证。所以为了证明引理1，我们只需要证明下面的引理2。引理2：给定ε和N，g(x) = F(x, εN)是关于x的亚线性函数。即，g的增长速度低于线性函数，给定εN，一定存在一个x0，使得对于x>x0，一定有g(x) < εx。接下来我们讨论如何证明引理2。这个函数g的性质其实不好直接讨论，但我们发现一个图和它经过简单删减之后得到的简化图的函数g之间有一些相关性，因此我们可以确立简单的初始值，然后通过讨论这些递推关系来确定g的增长速率。首先我们设在这样的图中是不可能发现孤立的点的。一旦出现孤立点m（即度数为0的顶点），那么选取除了m以外的任一顶点n，并在G里添加nm这条边，顶点数和围长都和G相同（nm不可能是任何圈的一部分，因为任何圈里的每个顶点度数为2，而此时m的度数为1），而边数大于G，所以G并不是满足F定义中余量最多的图，这样的G不会决定F的函数值，无须考虑。所以我们只需要讨论每个顶点度数至少为1的那些图G，我们把这些图分为以下两种状况：第一种情况： G中有一片叶u（度数为1的顶点），删除u和它对应的那条边，那么新的图G’中其实少了一个顶点和一条边。那么根据余量的定义（E-V+1, E和V同时减小了1），我们知道G’的余量等于F(N, εN)，也就是G的余量。既然删除这个顶点并没有改变图的围长，我们知道G’ 是个拥有N个顶点，围长εN的图。那么这样图的余量应该小于等于同类图的最大值，也就是说F(N, εN) ≤ F(N−1,εN)，也即在这种情况下g(N) ≤ g(N - 1)。实际上是严格等于的，这里不再赘述，留给大家考虑。第二种情况：图中所有顶点的度数至少为2。现在我们假设G中没有长度小于εN的圈。那么选取图中任意一个顶点u, 它的度数至少是2，然后选取距离u小于等于(εN/2)−1顶点和它们之间的边，形成新的图H。我们认定H是树。假设H不是树，那么必然存在一个圈，假设y，z在圈中是相邻的，那么我们一定可以从y走到u再走回y，这中间的步数小于等于((εN/2)−1) + ((εN/2)−1) + 1 ，这个量是严格小于εN的。但是因为图中并不存在长度小于εN的圈，所以这样的圈并不存在，H一定是树

【纯手写】关于去年IMO国际数学竞赛P6压轴题的全新解法我们可以将角度转化为共圆。显然A1B等于A1C，那我们不妨以A1为圆心，以A1B为半径作圆，发现A2是在这个圆上的，从而我们可以通过倒角证明，这样就把480度这个条件很巧妙地利用由于我们要证明共轴，我们可以考虑在根轴上的点。根据刚刚证明的共圆，可以得到B1B2C1C2共圆（倒角即可），由于有三个共圆，很自然联想到根心定理，从而A1A2,B1B2,C1C2三线共点，且到三个圆的圆幂相同，从而我们就找到了一个等幂点。使用建系的方法证明，在设点的选取上，我们设出B1与C1，因为它们都在中垂线上，每个点只需要一个变量，在设出点B1与C1后，我们就可以得到A2，而A1为三角形BCA2的外心，使用中垂线即可计算出其坐标，更进一步地，可以确定B2与C2，从而我们就可以得到三个圆的圆心坐标。在计算坐标是要时时因式分解，以免造成不必要的麻烦。最后的证明共线只需yOa-yOb/xOa-xOb=yOa-yOc/xOa-xOc注意到两侧关于b,c是等价的，于是我们只需计算其中一边，如果关于式子是关于b,c是等价的，就可以完成证明，计算的结果说明事实就是如此，从而我们完成了此题的证明。

各位Putnam数学竞赛的参赛体验如何，怎么评价几年的题目难度第一感觉就是Putnam简单的题目比IMO的平均难度低，但P6的难度高于IMO压轴题美国数学月刊的题目和Putnam的题目有很大区别，美国数学月刊上论文题目，只要了解背景，就会很容易想到思路，不适合作为考试题目，Putnam就是纯考试题目了从微积分的内容来看基本上不涉及底层性质，基本就是高等数学的竞赛题，积分上涉及数理统计，甚至是抽象调和分析，但是原则上它是要求你就微积分的技法就可以解决的。 Putnam的命题范围和内容应该是针对非数学专业的。

高中走竞赛一起升学的两个伙伴都退出华班了从高中那会儿数学竞赛就认识了，大家一个集训队的，一开始都很立志研究纯数也就是基础数学，都说想当数学家，大一刚到中科大就进的华班结果他们几个老六在大二下之前拿到钱之后立刻退华了，甚至其中一个还想放弃纯数我是很喜欢基础数学的，家里父辈经济条件很好，想继续在华班，大学读完想还想出国深造华班可以免学费，交流和听讲座的机会更多点，到大二后，华班强制修H课程，比如实分析H之类的，里面学霸也多，我喜欢很卷的那种氛围，不想跟他们一起退华，前几天发生了争吵…. 不知道该怎么办，他们是我非常好的朋友，但他们已经对基础数学的兴趣不如从前了，我却还想再进一步以后也从事纯数研究，真有点难受

华罗庚数学班的买书费好像不给报销了…… 昨天同学找班主任报销被讽刺了一顿……

学而思数理化全国联赛4大加试题，已解决三道了，可以交流一下思路

能否告知此题的纯几何证法证明对任意三角形 ABC 都存在一点能否告知此题的纯几何证法证明对任意三角形 ABC 都存在一点 P 满足以下性质: 设 AP, BP, CP 分别与 BC, CA, AB 交于 D, E, F. 则 AD = BE = CF.

半小时秒杀IMO预选题是什么水平，这里有纯手写的过程，可读性不高，直接提供两种方法吧

2011 IMO压轴题，全新解法，经整理如下，非常巧妙

有没有大佬可以继续把这图拆下去，实在没办法了。