冬日的天空琶音 冬日的天空琶音
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恒星际战舰采用聚变发动机的可能性 这里假设的核聚变发动机实质是工质发动机 假设聚变全部效率都能转化到推力上,发动机的工作原理是将聚变后的氦核子作为推进工质喷射 虽然将部分核子加速到光速推进,抛弃其他的剩余燃料会有更高效率,或者完全抛弃核子,推力由光子提供。但是绝大部分聚变产生的能量都能转移到飞船上,而用所有的核子推进能简化计算(不过在相对论体系中采用部分核子推进的计算已经被无形中完成了) 实际上由于能量不能完全转化为推力,所以这样计算应该还是高估的 不对飞船做分级结构假设,并且认为推进是连续的,发动机有固定功率 记飞船的初始质量为m,单位时间聚变核燃料q,单位质量核燃料转变能量e 飞船速度v(t),氦核子速度v`(t),飞船加速度a(t)=dv(t)/dt 参照坐标系为一维,正方向为飞船前进方向,原点为出发地地球 先在牛顿体系下计算,然后在相对论力学下计算结果,比较误差 在t时刻时,飞船质量为m-q*t,飞船动量(m-q*t)*v(t),飞船动能1/2*(m-q*t)*v(t)^2 在t+r时刻,飞船质量为m-q*t-q*r,飞船向后喷射出q*r的氦核子,氦核子速度为v`(t),假设此刻飞船速度为v(t)+u,那么可以列出动量守恒式: (m-q*t-q*r)*(v(t)+u) + q*r*v`(t) = (m-q*t)*v(t) 化简并两边并同时除以r,得(m-q*t)*u/r - q*(v(t)+u) + q*v`(t) = 0 当r趋近于0时,u趋近于0,u/r趋近于a(t),所以上式变成(m-q*t)*a-q*v(t)+q*v`(t)=0,记此式为(1)式 飞船和喷出的氦核子的总动能将增加,变化等同于聚变过程放出的能量,守恒式: 1/2*(m-q*t-q*r)*(v(t)+u)^2 + 1/2*q*r*v`(t)^2 - 1/2*(m-q*t)*v(t)^2 = e*q*r 化简两边并同时除以r,得1/2*(m-q*t)*(2*v(t)*u/r+u^2/r) - 1/2*q*(v(t)+u)^2 + 1/2*q*v`(t)^2 = e*q 当t趋近于0时,u^2/r=u*u/r,趋近于0,所以上式变成(m-q*t)*v(t)*a - 1/2*q*v(t)^2 + 1/2*q*v`(t)^2 = e*q,记此式为(2)式 将(1)式带入(2)式,化简可得(m-q*t)^2*a^2=2*e*q^2 故a=q*sqrt(2*e)/(m-q*t)或-q*sqrt(2*e)/(m-q*t) a的负值代表在同一时刻反向推进能产生的减速度 积分a可以得到速度v=sqrt(2*e)*ln(m/(m-q*t)) t=0时,v`(t)=sqrt(2*e),可以验证v`(t)-v(t)是个恒定值 核聚变的质能转化效率是0.028%,所以e=0.028*c^2 所以假如一艘飞船消耗等于总质量一半的燃料,可以达到sqrt(0.056)*ln2*c=16%光速 假如一艘飞船90%的质量是燃料,那么其最高速度可以达到sqrt(0.056)*ln10*c=55%光速 假如一艘飞船99%的质量是燃料,那么其最高速度可以达到sqrt(0.056)*ln100*c=109%光速 由于飞船前往目的地还需要减速,由于同一时刻反向推进产生的减速度等于推进产生的加速度,而速度是加速度的积分 所以飞船飞行的最大速度是消耗掉所有燃料达到的最高速度的一半,即如果一艘飞船90%的质量是燃料,那么其所能达到的最高速度是27.5%光速 相对论动力学下,f=dp/dt,p=mo*r*v,mo代表静质量,r是洛伦茨因子,等于1/sqrt(1-v^2/c^2) 相对论动力学下动能Ek=m*c^2-mo*c^2,总能量E=m*c^2 最后可以列出下面的方程组 (m-qt)(v*dr/dt+r*dv/dt)-qrv+kqr`v`=0 和 (m-qt)dr/dt-qr+kqr`=0 m是初始静质量,q是每单位时间消耗核燃料,v是速度,r是洛伦茨因子,r`和v`是喷气的洛伦茨因子和速度 k代表推进工质与被消耗的核燃料质量比,假设所有氦核子都用作推进,那么k=1-0.028 用三角代换v=sin(x)*c,可以得到(dx/dt)^2=q^2*(1-k^2)*(cos(x))^2/(m-qt)^2 可以认为平方根值代表减速时的减速度 解这个方程组的正根,最后可以得到 v/c=(z^2-1)/(z^2+1),z=(m/(m-qt))^sqrt(1-k^2) 当用所有的氦核子作为推进工质时,k取0.972 可以认为当用作推进工质的氦核子越少时,k趋近于0 z趋近于m/(m-qt) 下面用k=0.97计算 如果用50%燃料加速,那么能达到16%光速 如果用90%燃料加速,那么能达到50%光速 如果用99%燃料加速,那么能达到80%光速 可以看到不考虑相对论效应,消耗90%燃料加速能达到55%光速,和计算相对论效应比,仅仅有10%相对误差 如果推进工质为光子,z等于m/(m-qt),那么如果飞船的50%是燃料,消耗掉全部燃料可以加速到60%光速 所以如果恒星际战斗飞船采用核聚变的工质发动机作为推力 并且最大速度要能达到光速的10%,并且保留足够燃料机动 那么飞船的主要构成部分将是燃料 如果发动机推进效率低,燃料将占据飞船的绝大部分质量 比如代达罗斯计划的飞船,其90%质量是燃料 但是如果飞船的推进效率能达到理论极限值,那么燃料将可能降低到1/5
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