驯鲨2016 驯鲨2016
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概率论与阿列夫集的问题 先说一句,本篇所指的概率为0为绝对不可能的意思,概率为1则是绝对一定的意思。 首先,在整数轴上用铅笔任意戳中一个点——即任选一个整数。此处选中了7。 对于任意一个整数(比如7),我们可以计算出选中它的概率:整数集基数为ℵ0,选数的个数为1,选中一个指定数的概率为1/ℵ0。 一般可以将其视作0,但是这个概率明显高于0:选中7的概率为1/ℵ0,而我们已经像撞大运般选中了7。于是1/ℵ0>0. 对于ℵn(n∈N),我们可以建立一个势为ℵn的集,选定其中一个元素,则可计算出随意选取元素时选中它的概率为1/ℵn,同样1/ℵn>0。 下面来看回整数集。 上面提到,在整数集中任意选取数,选中指定一个数的概率是1/ℵ0,则未选中它的概率为1−1/ℵ0,任意一个数的未被选中概率均为1−1/ℵ0。则未选中任何一个数的概率是(1−1/ℵ0)^ℵ0。选中一个数的概率是1−(1−1/ℵ0)^ℵ0。 但是想一下选数的初衷,则进行一次选择,选中一个数的概率为1.也就是说1−(1−1/ℵ0)^ℵ0=1,即(1−1/ℵ0)^ℵ0=0。而上面说过,1/ℵn>0(n∈N)。这就意味着,无论是ℵn中n是多少,ℵn<1/(1−1/ℵ0)^ℵ0。 问题来了:这个1/(1−1/ℵ0)^ℵ0究竟是一个什么样的存在?可以用同样的方法构造出1/(1−1/ℵ1)^ℵ1,1/(1−1/ℵ2)^ℵ2……而它们的倒数都等于0。这一系列数究竟是一个什么样的存在? 严肃滑稽
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