施承忠 施承忠
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施承忠小筛法分配率解析计算 施承忠小筛法分配率解析计算 过去和现在许多数学家都对小筛法作过研究，但结果都失败了，因为他们都得不到比较有价值的估计. 究其原因，主要是区域概念不明，区域混乱计算就没有价值. 所以要解决小筛法的精确估计，必须要有一个明确的区域，在这样的区域中去得到有用的估计. 我们将x定义在2^n的区间内.2^n=g(2^n)+π(2^n)=gn^n+hn^n.gn^n表示为被筛去的数，hn^n表示为剩余数. pk表示第k个素数，gk表示第k个素数的合数.我们把g(2^n)记作1+∑(^1,_k)gk.此时gk表示此类合数的个数.其中2^n-π(2^n)=g(2^n). 因为√n≈√2n,把2^n分为N1和N2,则g(N2)≈g(N1). 经过计算： 当2^n>2^4时g(2^n)不会大于2^n-hn-1^n. 我们把gn^n中的gn称作gn^n的基或者底，我们把hn^n中的hn称作hn^n的基或者底. 筛法计算就是基于这种计算. 把π(2^n)表为hn-1^n+b^n.这时hn-1^n是可预知部分，b^n是不可预知部分. x=2^2时，因为√2^2=2.所以在2^2中筛去所有2的合数和自然数1, h2^2=1.414213562^2=2,g2^2=1.414213562^2=2. g(2^2)=4-2=2. x=2^3时，因为√2^3=2.828427125..所以在2^3中筛去所有2的合数和自然数1, h3^3=1.587401052^3=4,g3^3=1.587401052^3=4. 这时候: h2^3=1.414213562^3=2.8284271,去掉小数=2.但是π(2^3)=4. 所以π(2^3)=2+2≈h2^3+b^3≈1.414213562^3+1.259921050^3=4. g(2^3)<8-2.8284271=5.1715729. x=2^4时，因为√2^4=4.所以在2^4中筛去所有2和3的合数和自然数1, h4^4=1.565084580^4=6,g4^4=1.778279410^4=10. 这时候: h3^4=1.587401052^3=6.3496042,去掉小数=6,但是π(2^4)=6. 所以π(2^4)=6+0≈h3^4+b^4≈1.587401052^4+0=6. g(2^4)>16-6.3496042=9.650396. x=2^5时，因为√2^5=5.656854249.所以在2^5中筛去所有2,3,5的合数和自然数1, h5^5=1.615394266^5=11,g5^5=1.838416287^5=21. 这时候: h4^5=1.565084580^5=9.3905075,去掉小数=9,但是π(2^5)=11. 所以π(2^5)=9+2≈h4^5+b^5≈1.565084580^5+1.148698355^5=11. g(2^5)<32-9.3905075=22.60949. x=2^6时,√2^6=8.所以在2^6中筛去所有2,3,5,7的合数和自然数1, h6^6=1.618870407^6=18,g6^6=1.892894046^6=46. 这时候: h5^6=1.615394266^6=17.7693369,去掉小数=17,但是π(2^6)=18. 所以π(2^6)=17+1≈h5^6+b^6≈1.615394266^6+1^6=18. g(2^6)<64-17.7693369=46.230663. x=2^7时,√2^7=11.31370850.所以在2^7中筛去所有2,3,5,7,11的合数和自然数1, h7^7=1.633246253^7=31,g7^7=1.922314906^7=97. 这时候: h6^7=1.618870407^7=29.139667,去掉小数=29.但是π(2^7)=31. 所以π(2^7)=29+2≈h6^7+b^7≈1.618870407^7+1.104089514^7=31. g(2^7)<128-29.139667=98.86033. x=2^8时,√2^8=16.所以在2^8中筛去所有2,3,5,7,11,13的合数和自然数1, ,h8^8=1.646452553^8=54,g8^8=1.941640942^8=202. 这时候: h7^8=1.633246253^8=50.630634,去掉小数=50.但是π(2^8)=54. 所以π(2^8)=50+4≈h7^8+b^8≈1.633246253^8+1.189207115^8=54. g(2^8)<256-50.630634=205.36937.
证明费尔马大定理 证明费尔马大定理 文/施承忠 我们先来看看z^1-x^1=y^1是怎么升幂的 3^1-1^1=2^1 3^2-1^2=2^3 5^2-2^1=3^1` 5^2-2^2=3^2+12 5^2-3^2=3^2+7 5^2-4^2=3^2 5^1-1^1=4^1` 5^2-1^2=4^2+8 5^2-2^2=4^2+5 5^2-3^2=4^2 7^1-2^1=5^1` 7^2-2^2=5^2+20 7^2-3^2=5^2+15 7^2-4^2=5^2+8 7^2-5^2=5^2-1 8^2-5^2=5^2+14 8^2-6^2=5^2+3 8^2-7^2=5^2-10 9^2-8^2=5^2-8 10^2-9^2=5^2-6 11^2-10^2=5^2-4 12^2-11^2=5^2-2 13^2-12^2=5^2 它是先增大x,使致z-x=1,然后增大z，使得z^2-x^2=y^2. 当2升幂到n时，必然要增大x，使得z-x<1,导致z,x,y至少有一个不是正整数. 我们有z^2-x^2=y^n，z,x,y都是正整数成立.但此时n√z^2,n√x^2,z-x<1,一定不是正整数，至少其中之一个不是正整数. 又z^2-x^2=y^2，对于所有的z,x,y,正整数成立.但z^2-x^2=y^2升幂为z^n-x^n=y^n时产生了y^n的一个余项群.y^n+h1,y^n+h2,y^n+h3,...,y^n+ht，其中y^n+ht是一个最小余项. 我们也可以将z^2-x^2=y^n升幂得到z^n-x^n=y^n的一个余项群，x^n+r1,x^n+r2,x^n+r3,...,x^n+rf，并且rf=ht.此时z^2-x^2=y^2的升幂余项群是 z^n-x^n=y^n的升幂余项群的一个子群.因为z-x<1，所以在升幂群中没有一个余项为零的解，所以在z,x,y中至少有一个不是正整数. 我们有13^3-12^3=5^3+h的一个余项群. 13^2-12^2=5^2 13^3-12^3=5^3+344 12^3-11^3=5^3+272 11^3-10^3=5^3+206 10^3-9^3=5^3+146 9^3-8^3=5^3+92 8^3-7^3=5^3+44 7^3-6^3=5^3+2 其中5^3+2是它的一个最小余项. 所以n>2任意的z^n-x^n=y^n+ht都带余项,而且都可以大于最小余项. 证毕.
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想定理 哥德巴赫猜想和孪生素数猜想定理 文/施承忠 证： 哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都与素数有关.所以我们必须分两步走；第一步筛出素数，有素数定理π(x)≈x/lnx.当我们筛出素数以后，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想只与素数有关与自然数无关;第二步筛出素数中p和p+2的素数对和2n=p+q的素数对，我们用π*(x)表示，它的函数式是 T(x)=C1*π(x)/lnx,我们计算结果是：x→∞,C1≥1,x*(1/lnx)*(C1/lnx)=C*x/ln^2(x),x→∞, C≥1. 证毕.
打破传统的思维 打破传统的思维 我们若把2n-p也称为一种筛法，在传统的筛法里我们一直使用 2n-p1,2n-p2,2n-p3,...,2n-pk(1) 以(1)式这种方法来表示筛出来的是不是素数。这个时候我们只清楚素数p1,p2,p3,...,pk,不清楚2n-p1,2n-p2,2n-p3,...,2n-pk是不是素数. 现在我们来改变这种模糊的思维方式： 设pk∈π(n),pt∈π(2n),这时候2n-pk=pt,2n-pt=pk, 我们有 2n-(pt),2n-(pt-1),2n-(pt-2),...,2n-(pt-h)(2) 现在我们用(2)式这个方法，就完全不一样了。因为我们已经完全清楚π(2n)内的所有素数,所以我们一定清楚2n-(pt),2n-(pt-1),2n-(pt-2),...,2n-(pt-h)的所有素数了。 我们实际计算结果： 2n从6到96,表π(2n)=t，(2)式都是素数.从98到218,h不小于2，(2)式都有素数. 我们已经证明了gf(n)=oπ(2n),所以h=oπ(2n).因为ph都在π(2n)中，所以(2)式必有素数.
《pk与pt》 《pk与pt》 【3】6 【3】0 【3】【5】8 【3】0 【3】【5】【7】10 【3】0 【3】【5】【7】12 【5】0
哥德巴赫偶数猜想成立的证明。 哥德巴赫偶数猜想成立的证明。 文/施承忠 表 2n=pk+pt pk为此偶数中最小的一个素数 pk∈π(n) pt∈π(2n) gf(n)∈2n-pk是合数。 表p0=1 p1=2 p2=3 . . . pk 除p0以外都是素数。 因为2n是 p0+p0,p1+p1,p2+p2,p2+p3,p2+p4,p3+p4,p2+p5,p2+p6... 命 gp0=2,gp1=2,gp2=2,gp3=2,...,gpt=2 2n=m0gp0+m1gp1+m2gp2+m3gp3+...+mtgpt=∑(_0,^t)gpt 有 m0=1 m1=1 m2=π(2n-3) 一般的有 m2>m3>m4>...>mt 若哥德巴赫猜想不成立 则 gf(n)=π(n) 因为 2n<2n1时 gf(n)<π(n) 若要 gf(n)>gf(n1) 这时 π(n1)>gf(n1) π(n)>π(n1) 因为 π(n1)>gf(n1) π(n)>π(n1) gf(n)>gf(n1) 所以 gf(n)=gf(n1)+a π(n)=π(n1)+b b≥a 当2n→∞ gf(n)=o(π(n)) 所以哥德巴赫猜想成立。
哥德巴赫偶数猜想的证明 哥德巴赫偶数猜想的证明 文/施承忠 筛法定理1 p是素数 g是合数 如果 2n=p+g 那么，不管你是什么素数，都将被g筛去 看起来很可怕 这将导致所有素数都将被筛去 但是很幸运 如果绑定某个合数g 那么g在这个偶数中只能筛去一个素数 筛法定理2 p1是一个绑定的素数 如果 2n=p+p1 那么，不管你是什么素数，都将被p1留下 看起来很幸运 这将导致所有素数都将被留下 但是很不幸 如果绑定某个素数p1 那么p1在这个偶数中只能留下一个素数 我们求不大于10的偶数对 先求3的配对 3+3=6 3+5=8 3+7=10 共3对 再求5的配对 5+5=10 共1对 得到 D(6)=1 D(8)=1 D(10)=2 在这里 3的配对有3个 5的配对有1个 总共4个配对 其实只用3的3个配对就可以消灭缺口了 我们求不大于100的偶数对 先求3的配对 3+3=6 3+5=8 3+7=10 3+11=14 3+13=16 3+17=20 3+19=22 3+23=26 3+29=32 3+31=34 3+37=40 3+41=44 3+43=46 3+47=50 3+53=56 3+59=62 3+61=64 3+67=70 3+71=74 3+73=76 3+79=82 3+83=86 3+89=92 3+97=100 共24个配对 再求5的配对 5+5=10 5+7=12 5+11=16 5+13=18 5+17=22 5+19=24 5+23=28 5+29=34 5+31=36 5+37=42 5+41=46 5+43=48 5+47=52 5+53=58 5+59=64 5+61=66 5+67=72 5+71=76 5+73=78 5+79=84 5+83=88 5+89=94 共22个配对 再求7的配对 7+7=14 7+11=16 7+13=20 7+17=24 7+19=26 7+23=30 7+29=36 7+31=38 7+37=44 7+41=48 7+43=50 7+47=54 7+53=60 7+59=66 7+61=68 7+67=74 7+71=78 7+73=80 7+79=86 7+83=90 7+89=96 共21个配对 再求11的配对 11+11=22 11+13=24 11+17=28 11+19=30 11+23=34 11+29=40 11+31=42 11+37=48 11+41=52 11+43=54 11+47=58 11+53=64 11+59=70 11+61=72 11+67=78 11+71=82 11+73=84 11+79=90 11+83=94 11+89=100 共20个配对 再求13的配对 13+13=26 13+17=30 13+19=32 13+23=36 13+29=42 13+31=44 13+37=50 13+41=54 13+43=56 13+47=60 13+53=66 13+59=72 13+61=74 13+67=80 13+71=84 13+73=86 13+79=92 13+83=96 共18个配对 再求17的配对 17+17=34 17+19=36 17+23=40 17+29=46 17+31=48 17+37=54 17+41=58 17+43=60 17+47=64 17+53=70 17+59=76 17+61=78 17+67=84 17+71=88 17+73=90 17+79=96 17+83=100 共17个配对 再求19的配对 19+19=38 19+23=42 19+29=48 19+31=50 19+37=56 19+41=60 19+43=62 19+47=66 19+53=72 19+59=78 19+61=80 19+67=86 19+71=90 19+73=92 19+79=98 过15个配对 再求23的配对 23+23=46 23+29=52 23+31=54 23+37=60 23+41=64 23+43=66 23+47=70 23+53=76 23+59=82 23+61=84 23+67=90 23+71=94 23+73=96 共13个配对 再求29的配对 29+29=58 29+31=60 29+37=66 29+41=70 29+43=72 29+47=76 29+53=82 29+59=88 29+61=90 29+67=96 29+71=100 共11个配对 再求31的配对 31+31=62 31+37=68 31+41=72 31+43=74 31+47=78 31+53=84 31+59=90 31+61=92 31+67=98 共9个配对 再求37的配对 37+37=74 37+41=78 37+43=80 37+47=84 37+53=90 37+59=96 37+61=98 共7个配对
x^n+y^n=z^n当n>2时没有正整数解 x^n+y^n=z^n当n>2时没有正整数解 文/施承忠 证： 当n=1时 若x,y为任意正整数时，z就不能是任意的；当z和y为任意的正整数时，x就不能是任意的；当z和x为任意正整数时，y就不可能是任意的，所以x、y、z,至少有一个是不能任意的，它必须受其它两个正整数的约束。 当n=2时 x^2+y^2=z^2 我们只要证明y是任意素数时上式有整正数解就足够了.因为当y是合数时 设y=pq 若z^2-x^2=q^2成立, 则p^2z^2-p^2x^2=p^2q^2成立。 我们有 z^2-x^2=y^2 则z^2-x^2=(z-x)(z+x) 如果y是素数只有一种分解 y^2=1*y^2 则z-x=1 z+x=y^2 (y^2)-1/2=x (y^2)+1/2=y 当n=3时 令y<x<z (z^2-x^2)*y=y^3 =(z^2)*y-(x^2)*y=y^3 则 (z^2)*y<z^3 (x^2)*y<x^3 因为在z^2-x^2=y^2中 x=z-1 现在 3√((x^2)*y)=d<x 3√((z^2)*y)=e<z z-2<d<z-1 x<e<x+1 因为x是正整数，x+1是正整数，e肯定不是正整数。 同样x也肯定不是正整数。 如果 (z^2)*y+m=z^3 (x^2)*y+m=f^3 则x<f<z,f肯定不是正整数。 如果 (x^2)*y+m=x^3 (z^2)*y+m=f^3 则x<f<z,结果相同。 所以x,z中至少有一个不是正整数。 令n=1时x=x1,n=n时x=xn n=1时z=z1,n=n时z=zn 我们有 x-1<xn<xn-1<xn-2<...<x2<x z-1<zn<zn-1<zn-2<...<z2<z 证毕。 其实当n很大时 (z*y^n-1)-(x*y^n-1)=y^n 则z→x→y,如果y是正整数，则z和x都不是正整数，经过变换z^n-xn^n=y^n,则xn→z，反之则 zn→x,所以z和x肯定其中有一个不是正整数。 y<x<z 则n√2y^n<z<n√2x^n
x^n+y^n=z^n当n>2时没有正整数解 x^n+y^n=z^n当n>2时没有正整数解 文/施承忠 证： 当n=1时 若x,y为任意正整数时，z就不能是任意的；当z和y为任意的正整数时，x就不能是任意的；当z和x为任意正整数时，y就不可能是任意的，所以x、y、z,至少有一个是不能任意的，它必须受其它两个正整数的约束。 当n=2时 x^2+y^2=z^2 我们只要证明y是任意素数时上式有整正数解就足够了.因为当y是合数时 设y=pq 若z^2-x^2=q^2成立, 则p^2z^2-p^2x^2=p^2q^2成立。 我们有 z^2-x^2=y^2 则z^2-x^2=(z-x)(z+x) 如果y是素数只有一种分解 y^2=1*y^2 则z-x=1 z+x=y^2 (y^2)-1/2=x (y^2)+1/2=y 当n=3时 令y<x<z (z^2-x^2)*y=y^3 =(z^2)*y-(x^2)*y=y^3 则 (z^2)*y<z^3 (x^2)*y<x^3 因为在z^2-x^2=y^2中 x=z-1 现在 3√((x^2)*y)=d<x 3√((z^2)*y)=e<z z-2<d<z-1 x<e<x+1 因为x是正整数，x+1是正整数，e肯定不是正整数。 同样x也肯定不是正整数。 如果 (z^2)*y+m=z^3 (x^2)*y+m=f^3 则x<f<z,f肯定不是正整数。 如果 (x^2)*y+m=x^3 (z^2)*y+m=f^3 则x<f<z,结果相同。 所以x,z中至少有一个不是正整数。 令n=1时x=x1,n=n时x=xn n=1时z=z1,n=n时z=zn 我们有 x-1<xn<xn-1<xn-2<...<x2<x z-1<zn<zn-1<zn-2<...<z2<z 证毕。 其实当n很大时 (z*y^n-1)-(x*y^n-1)=y^n 则z→x→y,如果y是正整数，则z和x都不是正整数，经过变换z^n-xn^n=y^n,则xn→z，反之则 zn→x,所以z和x肯定其中有一个不是正整数。 y<x<z 则n√2y^n<z<n√2x^n
埃拉托斯特尼筛法的抽屉理论 埃拉托斯特尼筛法的抽屉理论 文/施承忠 自然数抽屉 自然数就是指1,2,3,...,n的正整数。 因为n^2=【2∑n】-n】n=1,2,3,...,n】 我们把【2∑n】-n】个自然数分放在(2n)-1个抽屉中，使自然数更具有规律化。即： 当n=10时 【1】1】[(1)] 　　【1】2】[(2)] 　　【2】1】[(3)(4)] 　　【2】2】[(5)(6)] 　　【3】1】[(7)(8)(9)] 　　【3】2】[(10)(11)(12)] 　　【4】1】[(13)(14)(15)(16)] 　　【4】2】[(17)(18)(19)(20)] 　　【5】1】[(21)(22)(23)(24)(25)] 　　【5】2】[(26)(27)(28)(29)(30)] 　　【6】1】[(31)(32)(33)(34)(35)(36)] 　　【6】2】[(37)(38)(39)(40)(41)(42)] 　　【7】1】[(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)] 　　【7】2】[(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)] 　　【8】1】[(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)] 　　【8】2】[(65)(66)(67)(68)(69)(70)(71)(72)] 　　【9】1】[(73)(74)(75)(76)(77)(78)(79)(80)(81)] 　　【9】2】[(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89)(90)] 　　【10】1】[(91)(92)(93)(94)(95)(96)(97)(98)(99)(100)] 当n=k时 k^2=【2∑k】-k】 当n=k+1时 (k^2)+k=k*k+1 (k*k+1)+k+1=(k+1)^2 所以当n=k+1时成立，当n=∞也成立。 埃拉托斯特尼筛法抽屉 在自然数抽屉中，我们把n^2个自然数分放在(2n)-1个抽屉中。 现在我们把这些自然数抽屉转化为埃拉托斯特尼筛法抽屉。因为每一个自然数除自然数一和素数以外都必然有一个不小于√n的素因子（其实自然数1就是素因子不小于1的一个正整数，而素素就是一个素因子不小于其本身的一个正整数。），所以每一个自然数都必然可以放到它一个特定的抽屉里。 一个素数分化成两个抽屉 【p】1】，【p】2】 其中【p】1】是素数抽屉；【p】2】是合数抽屉 一个合数的两个抽屉【g】1】，【g】2】都是两个合数抽屉 我们将【p】1】[（x1）（x2）（x3）...（xk）]左边的方括号用黑括号括起来。 即：【p】1】【（x1）（x2）（x3）...（xk）】 【p】2】[（x1）（x2）（x3）...（xk）] 现在我们将1放在【1】1】里【1】1】（1） 因为【1】2】是素数抽屉，我们将右边的括号再用括黑括号起来。 【1】2】【（2）】 因为2是素数，抽屉【2】1】必须放2个素数 3和5是与2连续的2个连续的素数， 所以【2】1】【（3）（5）】 抽屉【2】2】是合数抽屉，所以必须放2个合数，它的最小素因子是2 4和6是最小素因子是2的2个最小连续合数， 所以【2】2】[（4）（6）] 因为3是素数，抽屉【3】1】必须放3个素数 7,11,13是与5连续的3个连续素数， 所以【3】1】【（7）（11）（13）】 因为【3】2】是合数抽屉，所以必须放3个合数，它的最小素因子是3 9,15,21是最小素因子是3的3个最小连续合数， 所以【3】2】[（9）（15）（21）] 因为4是最小素因子是2的合数，抽屉【4】1】必须放4个最小素因子是2的合数 8,10,12,14是与6连续的4个最小素因子是2的合数， 所以【4】1】[(8)(10)(12)(14)] 16,18,20,22是与14连续的4个最小素因子是2的合数， 所以【4】2】[(16)(18)(20)(22)] 因为5是素数，抽屉【5】1】必须放5个素数 17，19，23，29，31是与13连续的5个连续素数， 所以【5】1】【（17）（19）（23）（29）（31）】 因为【5】2】是合数抽屉，所以必须放5个合数，它的最小素因子是5 25，35，55，65，85是最小素因子是5的5个最小连续合数， 所以【5】2】[(25)(35)(55)(65)(85)] 因为6是最小素因子是2的合数，抽屉【6】1】必须放6个最小素因子是2的合数 24，26，28，30，32，34是与22连续的6个最小素因子是2的合数， 所以【6】1】[（24)(26)(28)(30)(32)(34)] 36，38，40，42，44，46是与34连续的6个最小素因子是2的合数， 所以【6】2】[（36)(38)(40)(42)(44)(46)] 因为7是素数，抽屉【7】1】必须放7个素数 37，41，43，47，53，59，61是与31连续的7个连续素数， 所以【7】1】【（37)(41)(43)(47)(53)(59)(61）】 因为【7】2】是合数抽屉，所以必须放7个合数，它的最小素因子是7 49，77，91，119，133，161，203是最小素因子是7的7个最小连续合数， 所以【7】2】[(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)] 即： 【1】[(1）] 　　【1】【(2)】 　　【2】【(3)(5)】 　　【2】[(4)(6)] 　　【3】【(7)(11)(13)】 　　【3】[(9)(15)(21)] 　　【4】[(8)(10)(12)(14)] 　　【4】[(16)(18)(20)(22)] 　　【5】【(17)(19)(23)(29)(31)】 　　【5】[(25)(35)(55)(65)(85)] 　　【6】[(24)(26)(28)(30)(32)(34)] 　　【6】[(36)(38)(40)(42)(44)(46)] 　　【7】【(37)(41)(43)(47)(53)(59)(61)】 现在我们将所有埃拉托斯特尼筛法抽屉中的每一个抽屉的自然数个数加起来的和等于 k^2=【2∑k】-k】，它与自然数抽屉中的和是一样的。由于它们的进阶不同所取的自然数就有一定变化 由于埃拉托斯特尼筛法抽屉中的每一个自然数同自然数抽屉中一样都是不重复的，所以只要加长 埃拉托斯特尼筛法抽屉一定会满足自然数抽屉中的每一个数；只要加长自然数抽屉一定会满足埃拉托斯特尼筛法抽屉中的每一个数 我们知道所有非素数的抽屉中不可能存在素数，所以我们要获得素数就可以忽略它们.所以我们只要求出素数抽屉中的自然数个数就可以了，我们得到 π(pk^2)≈1+∑pk(pk是素数)】1,k】,如果要将近似号改变成等号在左边加上差数m就可以了 即：π(pk^2+m)=1+【∑pk】1,k】 如果素数有限那么π(pk^2+m)=1+【∑pk】1,k】 m→∞，π(pk^2+m)=1+【∑pk】1,k】 我们知道所有的合数抽屉与素数抽屉是相互独立的，而且所有的素数都将成为素数抽屉；所有的合数都将成为合数抽屉 那么π(pk^2）中的素数一定大于π(pk）中的素数，m→∞，π(pk^2+m）中的素数一定大于π(pk^2）中的素数，所以素数有无限多个 孪生素数抽屉 孪生素数是素数中的一个分支，就是一个素数p,若p+2也是素数，这一对素数就称为孪生素数. 这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数中筛出来. 由于孪生素数q是一对素数，这里q是一对孪生素数中的较小的一个，所以需要两组素数。我们用T(x)来表示x中的孪生素数对数。 它们有关系式【T(2qk2)】(k=1,2,3,...k)】≈Σ1kqk（这里q是一对孪生素数中的较小的一个，q≠q+2) 【T(2qk2+m】(k=1,2,3,...k)】=Σ1kqk 这是我们从素数抽屉中筛出来的孪生素数抽屉 1【3】[1(3)2(5)3(11)] 2【5】[4(17)5(29)6(41)7(59)8(71)] 3【11】[9(101)10(107)11(137)12(149)13(179)14(191)15(197)16(227)17(239)18(269)19(281)] 4【17】[20(311)21(347)22(419)23(431)24(461)25(521)36(569)27(599)28(617)29(641)30(659)31(809)32(821)33(827)34(857)35(881)36(1019)] 5【29】[37(1031)38(1049)39(1061)40(1091)41(1151)42(1229)43(1277)44(1289)45(1301)46 (1319)47(1427)48(1451)49(1481)50(1487)51(1607)52(1619)53(1667)54(1697)55(1721)56(1787) 57(1871)58(187)59(1931)60(1949)61(1997)62(2027)63(2081)64(2087)65(2111)] 6【41】[66(2129)67(2141)68(2237)69(2267)70(2309)71(2339)72(2381)73(2549)74(2591)75(2657)76(2687)77(2711)78(2729)79(2789)80(2801)81(2969)82(2999)83(3119)84(3167)85(3251)86(3257)87(3299)88(3329)89(3359)90(3371)91(3389)92(3461)93(3467)94(3527)95(3539)96(3557)97(3581)98(3671)99(3767)100(3821)101(3851)102(3917)103(3929)104(4001)105(4019)106(4049)] 7【59】[107(4091)108(4127)109(4157)110(4217)111(4229)112(4241)113(4259)114(4271)115(4337)116(4421)117(4481)118(4517)119(4547)120(4637)121(4649)122(4721)123(4787)124(4799)125(4931)126(4967)127(5009)128(5021)129(5099)130(5231)131(5279)132(5417)133(5441)134(5477)135(5501)136(5519)137(5639)138(5651)139(5657)140(5741)141(5849)142(5867)143(5879)144(6089)145(6131)146(6197)147(6269)148(6299)149(6359)150(6449)151(6551)152(6569)153(6659)154(6689)155(6701)156(6761)157(6779)158(6791)159(6827)160(6869)161(6947)162(6959)163(7127)164(7211)165(7307) 【】 【】 【】 T(2qk^2+m)=【∑qk】1,k】 如果孪生素数只有有限多对那么T(2qk^2+m)=【∑qk】1,k】 m→∞，T(2qk^2+m)=【∑qk】1,k】 我们知道所有的孪生素数都将成为孪生素数抽屉，那么T(2qk^2）中的孪生素数对一定大于T(2qk）中的孪生素数对，所以孪生素数有无限多个. 哥德巴赫素数抽屉 哥德巴赫素数是指p是素数，则偶数2n-p也是素数的素数。与孪生素数一样，这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数中筛出来。它与孪生素数不同的是：孪生素数中的第k个孪生素数是不变的，比如q1=3.但是哥德巴赫素数就不同了.我们用Gk来表示第k个哥德巴赫素数，那么第一个哥德巴赫素数在偶数6中是3，而在偶数12中却是5.所以只有指明某一个偶数，才能知道第k个哥德巴赫素数是什么。所以哥德巴赫素数抽屉中只能放偶数而不能是具体的哥德巴赫素数。但是哥德巴赫素数的抽屉却必须是具体的素数而不能是偶数，那怎么办？我们可以这么说：哥德巴赫素数和孪生素数在筛法上是同阶的。我们完全可以用孪生素数的抽屉来做哥德巴赫素数的抽屉。 哥德巴赫素数抽屉还存在一个问题就是：存在k个哥德巴赫素数的偶数有很多，它不止一个；比如 偶数6,8,12都只有一个哥德巴赫素数，我们采取的办法是：在标识上我们只写入偶数12，其他6与8可以并入在这个抽屉中。我们把x表示为一个偶数，D(x)表示为不大于x的x中的哥德巴赫素数对，我们称12为D(x)=1的偶数极点，如果D(x)=m,我们把D(x)=m的最大偶数，称之为该偶数的极点。 哥德巴赫素数和孪生素数的另一个不同的一点就是：孪生素数是从两组不大于pk2的素数中筛出来的，所以它有一个关系式：T(2qk2)≈Σ1kqk.而哥德巴赫素数必须从两组不大于2pk2的素数中筛出来，其中又有1/2是重复的；所以它的关系式是：D(4qk2)≈Σ1kqk. 下面是我们用埃拉托斯特尼筛法筛出来的哥德巴赫偶数极点 1【3】[1(12)2(68)3(128)] 2【5】[4(152)5(188)6(332)7(398)8(368)] 3【11】[9(488)10(632)11(692)12(626)13(992)14(878)15(908)16(1112)17(998)18(1412)19(1202)] 4【17】[20(1448)21(1718)22(1532)23(1604)24(1682)25(2048)26(2252)27(2078)28(2672)29(2642)30(2456)31(2936)32(2504)33(2588)34(2978)35(3092)36(3032)] 5【29】[37(3218)38(3272)39(3296)40(3632)41(3548)42(3754)43(4022)44(4058)45(4412)46(4448)47(4174)48(4478)49(4472)50(4688)51(5078)52(5468)53(5288)54(5528)55(5948)56(5618)57(5378)58(5732)59(6068)60(6152)61(6368)62(6002)63(5996)64(6506)65(6326)] 6【41】[66(6632)67(7292)68(7508)69(6694)70(8042)71(7862)72(8048)73(7724)74(7598)75(8552)76(8378)77(9602)78(8522)79(8186)80(8572)81(8564)82(8332)83(8846)84(8972)85(9404)86(9866)87(9304)88(9488)89(9368)90(9766)91(9838)92(10544)93(10232)94(10358)95(10832)96(10772)97(10958)98(11672)99(11156)100(11456)101(12092)102(11252)103(11846)104(12368)105(12722)106(12326)] 【】 【】 【】 如果D(4qk^2+m)=Σ1kqk是哥德巴赫偶数的一个极一点，则D(4qk^2+m+2)≥Σ1kqk m→∞D(4qk^2+m)>Σ1kqk 如果哥德巴赫偶数中的素数对只有有限多对.那么D(4qk^2+m)=【∑qk】1,k】 m→∞，D(4qk^2+m)=【∑qk】1,k】 我们知道所有的孪生素数都将成为孪生素数抽屉，那么D(4qk^2）中的孪生素数对一定大于D(2qk）中的孪生素数对，所以哥德巴赫偶数中的素数对有无限多对. 实例 素数无限多 我们有素数抽屉【1】【1(2)】 得到π(1^2+1)=1 m=1 如果素数只有1个 那么m→∞ π(1^2+m)=1 但是我们有素数抽屉【2】【2(3)3（5）】得到 1+2=3 得到π(2^2+1)=3 m=1 得到π(1^2+4)=3 m=4 如果素数只有3个 那么 m→∞ π(2^2+m)=3 但是我们有素数抽屉【5】【7(17)8(19)9(23)10(29)11(31)】得到 1+2+3+5=11 得到π(5^2+6)=11 m=6 得到π(2^2+27)=11 m=27 这样我们可以无穷尽地做下去，所以素数有无限多个 孪生素数无限多 我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到 T(2*3^2-5)=3 m=5 如果孪生素数只有3对 那么m→∞ T(2*3^2+m)=3 但是我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到 【11】【9(101)10(107)11(137)12(149)13(179)14(191)15(197)16(227)17(239)18(269)19(281)】得到 3+5+11=19 T(2*11^2+41)=19 m=41 得到T(2*3^2+265)=19 m=265 这样我们可以无穷尽地做下去，所以素数有无限多个 哥德巴赫素数无限多 我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到 【3】【1(12)2(68)3(128)】这里的极点偶数是128，D(128)=3 得到D(4*3^2+92)=3 m=92 如果哥德巴赫素数只有3对 那么m→∞ D(4*3^2+m)=3 但是我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到 【11】【9(488)10(632)11(692)12(626)13(992)14(878)15(908)16(1112)17(998)18(1412)19(1202)】 得到 3+5+11=19 这里的极点偶数是1412，D(1412)=18 D(4*11^2+928)=18 m=928 D(4*3^2+1376)=18 m=1376 这样我们可以无穷尽地做下去，所以哥德巴赫素数有无限多个
埃拉托斯特尼筛法的抽屉理论 埃拉托斯特尼筛法的抽屉理论 文/施承忠 自然数抽屉 自然数就是指1,2,3,...,n的正整数。 因为n^2=【2∑n】-n】n=1,2,3,...,n】 我们把【2∑n】-n】个自然数分放在(2n)-1个抽屉中，使自然数更具有规律化。即： 当n=10时 【1】1】[(1)] 　　【1】2】[(2)] 　　【2】1】[(3)(4)] 　　【2】2】[(5)(6)] 　　【3】1】[(7)(8)(9)] 　　【3】2】[(10)(11)(12)] 　　【4】1】[(13)(14)(15)(16)] 　　【4】2】[(17)(18)(19)(20)] 　　【5】1】[(21)(22)(23)(24)(25)] 　　【5】2】[(26)(27)(28)(29)(30)] 　　【6】1】[(31)(32)(33)(34)(35)(36)] 　　【6】2】[(37)(38)(39)(40)(41)(42)] 　　【7】1】[(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)] 　　【7】2】[(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)] 　　【8】1】[(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)] 　　【8】2】[(65)(66)(67)(68)(69)(70)(71)(72)] 　　【9】1】[(73)(74)(75)(76)(77)(78)(79)(80)(81)] 　　【9】2】[(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89)(90)] 　　【10】1】[(91)(92)(93)(94)(95)(96)(97)(98)(99)(100)] 当n=k时 k^2=【2∑k】-k】 当n=k+1时 (k^2)+k=k*k+1 (k*k+1)+k+1=(k+1)^2 所以当n=k+1时成立，当n=∞也成立。 埃拉托斯特尼筛法抽屉 在自然数抽屉中，我们把n^2个自然数分放在(2n)-1个抽屉中。 现在我们把这些自然数抽屉转化为埃拉托斯特尼筛法抽屉。因为每一个自然数除自然数一和素数以外都必然有一个不小于√n的素因子（其实自然数1就是素因子不小于1的一个正整数，而素素就是一个素因子不小于其本身的一个正整数。），所以每一个自然数都必然可以放到它一个特定的抽屉里。 一个素数分化成两个抽屉 【p】1】，【p】2】 其中【p】1】是素数抽屉；【p】2】是合数抽屉 一个合数的两个抽屉【g】1】，【g】2】都是两个合数抽屉 我们将【p】1】[（x1）（x2）（x3）...（xk）]左边的方括号用黑括号括起来。 即：【p】1】【（x1）（x2）（x3）...（xk）】 【p】2】[（x1）（x2）（x3）...（xk）] 现在我们将1放在【1】1】里【1】1】（1） 因为【1】2】是素数抽屉，我们将右边的括号再用括黑括号起来。 【1】2】【（2）】 因为2是素数，抽屉【2】1】必须放2个素数 3和5是与2连续的2个连续的素数， 所以【2】1】【（3）（5）】 抽屉【2】2】是合数抽屉，所以必须放2个合数，它的最小素因子是2 4和6是最小素因子是2的2个最小连续合数， 所以【2】2】[（4）（6）] 因为3是素数，抽屉【3】1】必须放3个素数 7,11,13是与5连续的3个连续素数， 所以【3】1】【（7）（11）（13）】 因为【3】2】是合数抽屉，所以必须放3个合数，它的最小素因子是3 9,15,21是最小素因子是3的3个最小连续合数， 所以【3】2】[（9）（15）（21）] 因为4是最小素因子是2的合数，抽屉【4】1】必须放4个最小素因子是2的合数 8,10,12,14是与6连续的4个最小素因子是2的合数， 所以【4】1】[(8)(10)(12)(14)] 16,18,20,22是与14连续的4个最小素因子是2的合数， 所以【4】2】[(16)(18)(20)(22)] 因为5是素数，抽屉【5】1】必须放5个素数 17，19，23，29，31是与13连续的5个连续素数， 所以【5】1】【（17）（19）（23）（29）（31）】 因为【5】2】是合数抽屉，所以必须放5个合数，它的最小素因子是5 25，35，55，65，85是最小素因子是5的5个最小连续合数， 所以【5】2】[(25)(35)(55)(65)(85)] 因为6是最小素因子是2的合数，抽屉【6】1】必须放6个最小素因子是2的合数 24，26，28，30，32，34是与22连续的6个最小素因子是2的合数， 所以【6】1】[（24)(26)(28)(30)(32)(34)] 36，38，40，42，44，46是与34连续的6个最小素因子是2的合数， 所以【6】2】[（36)(38)(40)(42)(44)(46)] 因为7是素数，抽屉【7】1】必须放7个素数 37，41，43，47，53，59，61是与31连续的7个连续素数， 所以【7】1】【（37)(41)(43)(47)(53)(59)(61）】 因为【7】2】是合数抽屉，所以必须放7个合数，它的最小素因子是7 49，77，91，119，133，161，203是最小素因子是7的7个最小连续合数， 所以【7】2】[(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)] 即： 【1】[(1）] 　　【1】【(2)】 　　【2】【(3)(5)】 　　【2】[(4)(6)] 　　【3】【(7)(11)(13)】 　　【3】[(9)(15)(21)] 　　【4】[(8)(10)(12)(14)] 　　【4】[(16)(18)(20)(22)] 　　【5】【(17)(19)(23)(29)(31)】 　　【5】[(25)(35)(55)(65)(85)] 　　【6】[(24)(26)(28)(30)(32)(34)] 　　【6】[(36)(38)(40)(42)(44)(46)] 　　【7】【(37)(41)(43)(47)(53)(59)(61)】 现在我们将所有埃拉托斯特尼筛法抽屉中的每一个抽屉的自然数个数加起来的和等于 k^2=【2∑k】-k】，它与自然数抽屉中的和是一样的。由于它们的进阶不同所取的自然数就有一定变化 由于埃拉托斯特尼筛法抽屉中的每一个自然数同自然数抽屉中一样都是不重复的，所以只要加长 埃拉托斯特尼筛法抽屉一定会满足自然数抽屉中的每一个数；只要加长自然数抽屉一定会满足埃拉托斯特尼筛法抽屉中的每一个数 我们知道所有非素数的抽屉中不可能存在素数，所以我们要获得素数就可以忽略它们.所以我们只要求出素数抽屉中的自然数个数就可以了，我们得到 π(pk^2)≈1+∑pk(pk是素数)】1,k】,如果要将近似号改变成等号在左边加上差数m就可以了 即：π(pk^2+m)=1+【∑pk】1,k】 如果素数有限那么π(pk^2+m)=1+【∑pk】1,k】 m→∞，π(pk^2+m)=1+【∑pk】1,k】 我们知道所有的合数抽屉与素数抽屉是相互独立的，而且所有的素数都将成为素数抽屉；所有的合数都将成为合数抽屉 那么π(pk^2）中的素数一定大于π(pk）中的素数，m→∞，π(pk^2+m）中的素数一定大于π(pk^2）中的素数，所以素数有无限多个 孪生素数抽屉 孪生素数是素数中的一个分支，就是一个素数p,若p+2也是素数，这一对素数就称为孪生素数. 这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数中筛出来. 由于孪生素数q是一对素数，这里q是一对孪生素数中的较小的一个，所以需要两组素数。我们用T(x)来表示x中的孪生素数对数。 它们有关系式【T(2qk2)】(k=1,2,3,...k)】≈Σ1kqk（这里q是一对孪生素数中的较小的一个，q≠q+2) 【T(2qk2+m】(k=1,2,3,...k)】=Σ1kqk 这是我们从素数抽屉中筛出来的孪生素数抽屉 1【3】[1(3)2(5)3(11)] 2【5】[4(17)5(29)6(41)7(59)8(71)] 3【11】[9(101)10(107)11(137)12(149)13(179)14(191)15(197)16(227)17(239)18(269)19(281)] 4【17】[20(311)21(347)22(419)23(431)24(461)25(521)36(569)27(599)28(617)29(641)30(659)31(809)32(821)33(827)34(857)35(881)36(1019)] 5【29】[37(1031)38(1049)39(1061)40(1091)41(1151)42(1229)43(1277)44(1289)45(1301)46 (1319)47(1427)48(1451)49(1481)50(1487)51(1607)52(1619)53(1667)54(1697)55(1721)56(1787) 57(1871)58(187)59(1931)60(1949)61(1997)62(2027)63(2081)64(2087)65(2111)] 6【41】[66(2129)67(2141)68(2237)69(2267)70(2309)71(2339)72(2381)73(2549)74(2591)75(2657)76(2687)77(2711)78(2729)79(2789)80(2801)81(2969)82(2999)83(3119)84(3167)85(3251)86(3257)87(3299)88(3329)89(3359)90(3371)91(3389)92(3461)93(3467)94(3527)95(3539)96(3557)97(3581)98(3671)99(3767)100(3821)101(3851)102(3917)103(3929)104(4001)105(4019)106(4049)] 7【59】[107(4091)108(4127)109(4157)110(4217)111(4229)112(4241)113(4259)114(4271)115(4337)116(4421)117(4481)118(4517)119(4547)120(4637)121(4649)122(4721)123(4787)124(4799)125(4931)126(4967)127(5009)128(5021)129(5099)130(5231)131(5279)132(5417)133(5441)134(5477)135(5501)136(5519)137(5639)138(5651)139(5657)140(5741)141(5849)142(5867)143(5879)144(6089)145(6131)146(6197)147(6269)148(6299)149(6359)150(6449)151(6551)152(6569)153(6659)154(6689)155(6701)156(6761)157(6779)158(6791)159(6827)160(6869)161(6947)162(6959)163(7127)164(7211)165(7307) 【】 【】 【】 T(2qk^2+m)=【∑qk】1,k】 如果孪生素数只有有限多对那么T(2qk^2+m)=【∑qk】1,k】 m→∞，T(2qk^2+m)=【∑qk】1,k】 我们知道所有的孪生素数都将成为孪生素数抽屉，那么T(2qk^2）中的孪生素数对一定大于T(2qk）中的孪生素数对，所以孪生素数有无限多个. 哥德巴赫素数抽屉 哥德巴赫素数是指p是素数，则偶数2n-p也是素数的素数。与孪生素数一样，这样的素数可以从埃拉托斯特尼筛法抽屉中分离出来，也可以直接从素数中筛出来。它与孪生素数不同的是：孪生素数中的第k个孪生素数是不变的，比如q1=3.但是哥德巴赫素数就不同了.我们用Gk来表示第k个哥德巴赫素数，那么第一个哥德巴赫素数在偶数6中是3，而在偶数12中却是5.所以只有指明某一个偶数，才能知道第k个哥德巴赫素数是什么。所以哥德巴赫素数抽屉中只能放偶数而不能是具体的哥德巴赫素数。但是哥德巴赫素数的抽屉却必须是具体的素数而不能是偶数，那怎么办？我们可以这么说：哥德巴赫素数和孪生素数在筛法上是同阶的。我们完全可以用孪生素数的抽屉来做哥德巴赫素数的抽屉。 哥德巴赫素数抽屉还存在一个问题就是：存在k个哥德巴赫素数的偶数有很多，它不止一个；比如 偶数6,8,12都只有一个哥德巴赫素数，我们采取的办法是：在标识上我们只写入偶数12，其他6与8可以并入在这个抽屉中。我们把x表示为一个偶数，D(x)表示为不大于x的x中的哥德巴赫素数对，我们称12为D(x)=1的偶数极点，如果D(x)=m,我们把D(x)=m的最大偶数，称之为该偶数的极点。 哥德巴赫素数和孪生素数的另一个不同的一点就是：孪生素数是从两组不大于pk2的素数中筛出来的，所以它有一个关系式：T(2qk2)≈Σ1kqk.而哥德巴赫素数必须从两组不大于2pk2的素数中筛出来，其中又有1/2是重复的；所以它的关系式是：D(4qk2)≈Σ1kqk. 下面是我们用埃拉托斯特尼筛法筛出来的哥德巴赫偶数极点 1【3】[1(12)2(68)3(128)] 2【5】[4(152)5(188)6(332)7(398)8(368)] 3【11】[9(488)10(632)11(692)12(626)13(992)14(878)15(908)16(1112)17(998)18(1412)19(1202)] 4【17】[20(1448)21(1718)22(1532)23(1604)24(1682)25(2048)26(2252)27(2078)28(2672)29(2642)30(2456)31(2936)32(2504)33(2588)34(2978)35(3092)36(3032)] 5【29】[37(3218)38(3272)39(3296)40(3632)41(3548)42(3754)43(4022)44(4058)45(4412)46(4448)47(4174)48(4478)49(4472)50(4688)51(5078)52(5468)53(5288)54(5528)55(5948)56(5618)57(5378)58(5732)59(6068)60(6152)61(6368)62(6002)63(5996)64(6506)65(6326)] 6【41】[66(6632)67(7292)68(7508)69(6694)70(8042)71(7862)72(8048)73(7724)74(7598)75(8552)76(8378)77(9602)78(8522)79(8186)80(8572)81(8564)82(8332)83(8846)84(8972)85(9404)86(9866)87(9304)88(9488)89(9368)90(9766)91(9838)92(10544)93(10232)94(10358)95(10832)96(10772)97(10958)98(11672)99(11156)100(11456)101(12092)102(11252)103(11846)104(12368)105(12722)106(12326)] 【】 【】 【】 如果D(4qk^2+m)=Σ1kqk是哥德巴赫偶数的一个极一点，则D(4qk^2+m+2)≥Σ1kqk m→∞D(4qk^2+m)>Σ1kqk 如果哥德巴赫偶数中的素数对只有有限多对.那么D(4qk^2+m)=【∑qk】1,k】 m→∞，D(4qk^2+m)=【∑qk】1,k】 我们知道所有的孪生素数都将成为孪生素数抽屉，那么D(4qk^2）中的孪生素数对一定大于D(2qk）中的孪生素数对，所以哥德巴赫偶数中的素数对有无限多对. 实例 素数无限多 我们有素数抽屉【1】【1(2)】 得到π(1^2+1)=1 m=1 如果素数只有1个 那么m→∞ π(1^2+m)=1 但是我们有素数抽屉【2】【2(3)3（5）】得到 1+2=3 得到π(2^2+1)=3 m=1 得到π(1^2+4)=3 m=4 如果素数只有3个 那么 m→∞ π(2^2+m)=3 但是我们有素数抽屉【5】【7(17)8(19)9(23)10(29)11(31)】得到 1+2+3+5=11 得到π(5^2+6)=11 m=6 得到π(2^2+27)=11 m=27 这样我们可以无穷尽地做下去，所以素数有无限多个 孪生素数无限多 我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到 T(2*3^2-5)=3 m=5 如果孪生素数只有3对 那么m→∞ T(2*3^2+m)=3 但是我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到 【11】【9(101)10(107)11(137)12(149)13(179)14(191)15(197)16(227)17(239)18(269)19(281)】得到 3+5+11=19 T(2*11^2+41)=19 m=41 得到T(2*3^2+265)=19 m=265 这样我们可以无穷尽地做下去，所以素数有无限多个 哥德巴赫素数无限多 我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到 【3】【1(12)2(68)3(128)】这里的极点偶数是128，D(128)=3 得到D(4*3^2+92)=3 m=92 如果哥德巴赫素数只有3对 那么m→∞ D(4*3^2+m)=3 但是我们有孪生素数抽屉【3】【1(3)2(5)3(11)】得到 【11】【9(488)10(632)11(692)12(626)13(992)14(878)15(908)16(1112)17(998)18(1412)19(1202)】 得到 3+5+11=19 这里的极点偶数是1412，D(1412)=18 D(4*11^2+928)=18 m=928 D(4*3^2+1376)=18 m=1376 这样我们可以无穷尽地做下去，所以哥德巴赫素数有无限多个
D(x)的平方关系 D(x)的平方关系 q1=3 2*3=6 6=3+3 D(6)=1 6^2=36 D(36)≈3 D（36）=4 4*3^2=6^2=36 【∑[k=1,1.q≠q+2]qk】=3 q2=5 2*5=10 10=3+7 5+5 D(10)=2 10^2=？ D(100)≈？ D(100)=？ 4*5^2=10^2=？ 【∑[k=1,2.q≠q+2]qk】=？
p1中的素数一定比p2中的多吗？ 6 p1中3只有一个 p2中3,5有2个 8 p1中3只有一个 p2中5,7有2个 10 p1中3,5有2个 p2中5,7有2个 12 p1中3,5有2个 p2中7，11有2个 14 p1中3,5,7有3个 p2中7,11,13有3个
p1中的素数比p2中的多有用吗？ p1中素数多，多的是废品，而正品比p2中的多不了。
D(x)的主项与余项
p1+p2的偶数表
这是一个铁的定理
孪生素数链与哥德巴赫猜想
孪生素数链与哥德巴赫猜想 孪生素数链与哥德巴赫猜想 文/施承忠
为什么发不了帖子 ？？？？？？？？？？？？？
不存在比2大的偶数x,使得D(x)=0 不存在比2大的偶数x,使得D(x)=0 文/施承忠 至今大家都没有发现过比2大的偶数x使得D(x)=0 D(2）=0
用周期律来证明哥德巴赫猜想 用周期律来证明哥德巴赫猜想 文/施承忠
在哥德巴赫偶数中所有的素数p都可以使x-p不是素数 在哥德巴赫偶数中所有的素数p都可以使x-p不是素数 文/施承忠 如果你已经知道的素数是p1,p2,p3,...,pk,那么我就可以制造出一个素数x=p1*p2*p3*...*pk,使得x-p1,x-p2,x-p3,...,x-pk都是这些素数的合数。 证毕。
用同余偶数证明哥德巴赫猜想 用同余偶数证明哥德巴赫猜想 文/施承忠 素数3的同余组 0[D(6)=1][D(12)=1][D(18)=2][D(24)=3][D(30)=3][D(36)=4][D(42)=4][D(48)=5][D(54)=5][D(60)=6][D(66)=6]
D(x)的下界公式 D(x)的下界公式 D(x)≥F(x)=0.5145634215x/lnx^2 x≥6 F(6)=0.9616803545 F(8)=0.9519967505 F(10)=0.9705268015 F(12)=1.0000000000
施承忠大筛法三大公式 这里发帖实在太难。
施承忠大筛法三大公式(1)
《 在(2*qk^2)^1±Δ中一定存在K(qk)个孪生素数》 在(2*qk^2)^1±Δ中一定存在K(qk)个孪生素数 文/施承忠 这里K(qk)=q1+q2+q3+...+qk,其中q1,q2,q3,...,qk是所有不大于qk的所有孪生素数. 从下面的数据可以看出，只要存在一个孪生素数qk就一定存在K(qk)个孪生素数，这是从施承忠的大筛法定理中推出的.而这K(qk)个孪生素数远远大于k个孪生素数. 比如说q3=11,那么K(qk)=3+5+11=19,19>3.2*11^2=242,242^1.028513563=283.283=q19+2. 这是对旧孪生素数理论极大的挑战.虽然这是一种极初等的方法，但是它对于孪生素数问题的解决且是完美无缺的.一切高等的数学都是从初等数学中提升的.如果我们连初等的都做不好，怎么能做好高等的呢？
关于哥德巴赫猜想中主集合与子集合的同步化问题 关于哥德巴赫猜想中主集合与子集合的同步化问题 文/施承忠 在哥德巴赫猜想的正则偶数中必然存在一个筛法子集合，当这个子集合运用某种方法运作时就产生了它的一个主集合，由于子集合的运作方法有很多种，所以它所产生的主集合中的正则偶数就有很多个. 正则偶数的哥德巴赫解是由连续的孪生素数相加来组成的.对于正则偶数的哥德巴赫解的孪生素数集合中，我们总是取其中较小的一个，比如第一对孪生素数(3,5),我们取较小的一个3，那么组成D(x)=3的正则偶数有{22,24,26,30,40,44,52,56,62,98,128}11个，这就是说它的筛法子集合的运作有11种.如果不加说明，正则偶数总是指最大的一个，这里128是D(x)=3的最大正则偶数,所以如果不加说明，那么D(x)=3的正则偶数就是指128. 不大于x的孪生素数对数我们用T(x)表示，T(128)=10，它的解的子集合是T(5)=1.当x的解的子集合变成T(7)=2时，D(x)=3+5=8,它的正则偶数就变成368.当x的解的子集合变成T(13)=3时，D(x)=3+5+11=19,它的正则偶数就变成了1202.虽然它们的步长不同，但是他们的趋大是同步的.所以当T(x)=n,它有一个正则偶数x0,那么当T(x)=n+1时必然有一个正偶数x，当T(x)趋向无穷时，正则偶数x也趋向无穷，它们却同时存在的.
关于哥德巴赫猜想中主集合与子集合的同步化问题 关于哥德巴赫猜想中主集合与子集合的同步化问题 文/施承忠 在哥德巴赫猜想的正则偶数中必然存在一个筛法子集合，当这个子集合运用某种方法运作时就产生了它的一个主集合，由于子集合的运作方法有很多种，所以它所产生的主集合中的正则偶数就有很多个. 正则偶数的哥德巴赫解是由连续的孪生素数相加来组成的.对于正则偶数的哥德巴赫解的孪生素数集合中，我们总是取其中较小的一个，比如第一对孪生素数(3,5),我们取较小的一个3，那么组成D(x)=3的正则偶数有{22,24,26,30,40,44,52,56,62,98,128}11个，这就是说它的筛法子集合的运作有11种.如果不加说明，正则偶数总是指最大的一个，这里128是D(x)=3的最大正则偶数,所以如果不加说明，那么D(x)=3的正则偶数就是指128. 不大于x的孪生素数对数我们用T(x)表示，T(128)=10，它的解的子集合是T(5)=1.当x的解的子集合变成T(7)=2时，D(x)=3+5=8,它的正则偶数就变成368.当x的解的子集合变成T(13)=3时，D(x)=3+5+11=19,它的正则偶数就变成了1202.虽然它们的步长不同，但是他们的趋大是同步的.所以当T(x)=n,它有一个正则偶数x0,那么当T(x)=n+1时必然有一个正偶数x，当T(x)趋向无穷时，正则偶数x也趋向无穷，它们却同时存在的.
哥德巴赫猜想的施承忠定理 哥德巴赫猜想的施承忠定理 所有偶数x都可以表示成x=p1+p2的若干个解 证明： 关于哥德巴赫猜想目前已经有许多证明，但是没有一个符合数学的实质性要求.我以前也作过许多证明，都没有达到这个目标.现在我用正则偶数这个定义来证明这个定理完全符合数学证明中的各种要求. 这里我们规定如果D(x)=（q1+q2+q3+...+qk)，qk是不大于n的较小的一个孪生素数，那么x就是一个正则偶数，我们设x0是符合这样要求的最大的x.而一切小于x0的偶数都可以表示成x=p1+p2的若干个解. 因为n^2=2*(1+2+3+...+n)-n，而q1，q2，q3，...，qk是1，2，3，...，n中符合条件的所有剩余数，因此(q1+q2+q3+...+qk)≠qk^2，设它是qk^2±c=x,那么x就可以表示成(q1+q2+q3+...+qk)个p1+p2的解,x0是符合条件的这样的x中最大的一个.而我们所取的这些剩余数是所有孪生素数，那么我们就证明了只要孪生素数q1，q2，q3，...，qk存在，就一定存在D(x0)=（q1+q2+q3+...+qk)，x0=qk^2±c,因为（q1+q2+q3+...+qk)远远大于pk,所以至少存在一个孪生素数pk+1,使pk不是最终的一个，那么（q1+q2+q3+...+qk+qk+1)>（q1+q2+q3+...+qk),x0跟着无限增大.如若不然，我们取一个小于pk的孪生素数pt，存在一个x1使D(x1)=（q1+q2+q3+...+qt)，x1=pt^2+c,假如一切大于pt^2+c=x1的偶数都不能表示x=p1+p2,这就不符合实际，因为我们明明知道存在一个偶数x0>x1,D(x0)=（q1+q2+q3+...+qk)，而一切大于x1小于x0的偶数都可以表示成x=p1+p2的若干个解,所以这样的事实是不存在的，这就证明了我们的定理.
哥德巴赫猜想的施承忠定理 哥德巴赫猜想的施承忠定理 所有偶数x都可以表示成x=p1+p2的若干个解 证明： 关于哥德巴赫猜想目前已经有许多证明，但是没有一个符合数学的实质性要求.我以前也作过许多证明，都没有达到这个目标.现在我用正则偶数这个定义来证明这个定理完全符合数学证明中的各种要求. 这里我们规定如果D(x)=（q1+q2+q3+...+qk)，qk是不大于n的较小的一个孪生素数，那么x就是一个正则偶数，我们设x0是符合这样要求的最大的x.而一切小于x0的偶数都可以表示成x=p1+p2的若干个解. 因为n^2=2*(1+2+3+...+n)-n，而q1，q2，q3，...，qk是1，2，3，...，n中符合条件的所有剩余数，因此(q1+q2+q3+...+qk)≠qk^2，设它是qk^2±c=x,那么x就可以表示成(q1+q2+q3+...+qk)个p1+p2的解,x0是符合条件的这样的x中最大的一个.而我们所取的这些剩余数是所有孪生素数，那么我们就证明了只要孪生素数q1，q2，q3，...，qk存在，就一定存在D(x0)=（q1+q2+q3+...+qk)，x0=qk^2±c,因为（q1+q2+q3+...+qk)远远大于pk,所以至少存在一个孪生素数pk+1,使pk不是最终的一个，那么（q1+q2+q3+...+qk+qk+1)>（q1+q2+q3+...+qk),x0跟着无限增大.如若不然，我们取一个小于pk的孪生素数pt，存在一个x1使D(x1)=（q1+q2+q3+...+qt)，x1=pt^2+c,假如一切大于pt^2+c=x1的偶数都不能表示x=p1+p2,这就不符合实际，因为我们明明知道存在一个偶数x0>x1,D(x0)=（q1+q2+q3+...+qk)，而一切大于x1小于x0的偶数都可以表示成x=p1+p2的若干个解,所以这样的事实是不存在的，这就证明了我们的定理.
正则偶数 正则偶数 文/施承忠 这里我给出一个提示： 这里我们规定如果D(x)=（q1+q2+q3+...+qk)，qk是不大于n的较小的一个孪生素数，那么x就是一个正则偶数 对正则偶数还有这样一个规定：如果x是一个正则偶数，则一切大于x的偶数x0的D(x0)都必须大于D(x) 因为n^2=2*(1+2+3+...+n)-n 所以奇数或偶数大约是（1+2+3+...+n)-n/2 那么D(x)是（q1+q2+q3+...+qk)±c 那么D(x)=（q1+q2+q3+...+qk)应该是x±c1=n^2 而且x与n^2应该是非常接近的，所以c1一定存在一个上界的下降数列 这里【】括号里的就是一个下降数列 D(x)=K(qk) 1(3^2)=9 D(128)=3 (4*9=36)+(【3.30555】*36)=128 2(5^2)=25 D(x)=8不存在这样的正则偶数 3(11^2)=121 D(x)=19不存在这样的正则偶数 4(17^2)=289 D(x)=36不存在这样的正则偶数 5(29^2)=841 D(x)=65不存在这样的正则偶数 6(41^2)=1681 D(x)=106不存在这样的正则偶数 7(59^2)=3481 D(x)=165不存在这样的正则偶数 8(71^2)=5041 D(33458)=236 (4*5041=20164)+(【0.65929】*20164)=33458 9(101^2)=10201 D(x)=337不存在这样的正则偶数 10(107^2)=11449 D(73418)=444 (4*11449=45796)+(【0.60315】*45796)=73418 11(137^2)=18769 D(x)=581不存在这样的正则偶数 12(149^2)=22201 D(x)=730不存在这样的正则偶数 13(179^2)=32041 D(176024)=909 (4*32041=128164)+(【0.37342】*128164)=176024
正则孪生素数 正则孪生素数 文/施承忠 这里我给出一个提示： 这里我们规定如果T(x)=（q1+q2+q3+...+qk)，qk是不大于n的较小的一个孪生素数，那么x就是一个较大的正则孪生素数 因为n^2=2*(1+2+3+...+n)-n 所以奇数或偶数大约是（1+2+3+...+n)-n/2 那么孪生素数是（q1+q2+q3+...+qk)±c 那么T(x)=（q1+q2+q3+...+qk)应该是x±c1=n^2 而且x与n^2应该是非常接近的，所以c1一定存在一个上界的下降数列 这里K(qk)=（q1+q2+q3+...+qk) 这里【】括号里的就是一个下降数列 T(x)=K(qk) 1(3^2)=9 T(13)=3 (2*9=18)-(0.27777*18)=13 2(5^2)=25 T(73)=8 (2*25=50)+(0.46000*50)=73 3(11^2)=121 T(283)=19 (2*121=242)+(0.16942*242)=283 4(17^2)=289 T(1021)=36 (2*289=578)+(【0.76643】*578)=1021 5(29^2)=841 T(2113)=65 (2*841=1682)+(0.25624*1682)=2113 6(41^2)=1681 T(4051)=106 (2*1681=3362)+(0.20493*3362)=4051 7(59^2)=3481 T(7309)=165 (2*3481=6962)+(0.04984*6962)=7309 8(71^2)=5041 T(12043)=236 (2*5041=10082)+(0.19450*10082)=12043 9(101^2)=10201 T(19699)=337 (2*10201=20402)-(0.03445*20402)=19699 10(107^2)=11449 T(27793)=444 (2*11449=22898)+(0.21377*22898)=27793 11(137^2)=18769 T(38749)=581 (2*18769=37538)+(0.03226*37538)=38749 12(149^2)=22201 T(52183)=730 (2*22201=44402)+(0.17523*44402)=52183 13(179^2)=32041 T(70183)=909 (2*32041=64082)+(0.09520*64082)=70183 14(191^2)=36481 T(88261)=1100 (2*36461=72922)+(0.21034*72922)=88261 15(197^2)=38809 T(107839)=1297 (2*38809=77618)+(【0.38935】*77618)=107839 16(227^2)=51529 T(130651)=1524 (2*51529=103058)+(0.26774*103058)=130651 17(239^2)=57121 T(155863)=1763 (2*57121=114242)+(0.36432*114242)=155863 18(269^2)=72361 T(184999)=2032 (2*72361=144722)+(0.27830*144722)=184999 19(281^2)=78961 T(218083)=2313 (2*78961=157922)+(【0.38095】*157922)=218083 20(311^2)=96721 T(254929)=2624 (2*96721=193442)+(【0.31785】*193442)=254929 21(347^2)=120409 T(296833)=2971 (2*120409=240818)+(0.23260*240818)=296833 22(419^2)=175561 T(345889)=3390 (2*175561=351122)-(0.01490*351122)=345889 23(431^2)=185761 T(402343)=3821 (2*185761=371522)+(0.08295*371522)=402343 24(461^2)=212521 T(461689)=4282 (2*212521=425042)+(0.08621*425042)=461689 25(521^2)=271441 T(529981)=4803 (2*271441=542882)-(0.02376*542882)=529981 26(569^2)=323761 T(605533)=5372 (2*323761=647522)-(0.06484*647522)=605533 27(599^2)=358801 T(685513)=5971 (2*358801=717602)-(0.04471*717602)=685513 28(617^2)=380689 T(775741)=6588 (2*380689=761378)+(0.01886*761378)=775741 29(641^2)=410881 T(866311)=7229 (2*410881=821762)+(0.05421*821762)=866311 30(659^2)=434281 T(959473)=7888 (2*434281=868562)+(0.10466*868562)=959473
正则偶数 正则偶数 文/施承忠 这里我给出一个提示： 这里我们规定如果D(x)=（q1+q2+q3+...+qk)，qk是不大于n的较小的一个孪生素数，那么x就是一个正则偶数 对正则偶数还有这样一个规定：如果x是一个正则偶数，则一切大于x的偶数x0的D(x0)都必须大于D(x) 因为n^2=2*(1+2+3+...+n)-n 所以奇数或偶数大约是（1+2+3+...+n)-n/2 那么D(x)是（q1+q2+q3+...+qk)±c 那么D(x)=（q1+q2+q3+...+qk)应该是x±c1=n^2 而且x与n^2应该是非常接近的，所以c1一定存在一个上界的下降数列 这里【】括号里的就是一个下降数列 D(x)=K(qk) 1(3^2)=9 D(128)=3 (4*9=36)+(【3.30555】*36)=128 2(5^2)=25 D(x)=8不存在这样的正则偶数 3(11^2)=121 D(x)=19不存在这样的正则偶数 4(17^2)=289 D(x)=36不存在这样的正则偶数 5(29^2)=841 D(x)=65不存在这样的正则偶数 6(41^2)=1681 D(x)=106不存在这样的正则偶数 7(59^2)=3481 D(x)=165不存在这样的正则偶数 8(71^2)=5041 D(33458)=236 (4*5041=20164)+(【0.65929】*20164)=33458 9(101^2)=10201 D(x)=337不存在这样的正则偶数 10(107^2)=11449 D(73418)=444 (4*11449=45796)+(【0.60315】*45796)=73418 11(137^2)=18769 D(x)=581不存在这样的正则偶数 12(149^2)=22201 D(x)=730不存在这样的正则偶数 13(179^2)=32041 D(176024)=909 (4*32041=128164)+(【0.37342】*128164)=176024
正则孪生素数 正则孪生素数 文/施承忠 这里我给出一个提示： 这里我们规定如果T(x)=（q1+q2+q3+...+qk)，qk是不大于n的较小的一个孪生素数，那么x就是一个较大的正则孪生素数 因为n^2=2*(1+2+3+...+n)-n 所以奇数或偶数大约是（1+2+3+...+n)-n/2 那么孪生素数是（q1+q2+q3+...+qk)±c 那么T(x)=（q1+q2+q3+...+qk)应该是x±c1=n^2 而且x与n^2应该是非常接近的，所以c1一定存在一个上界的下降数列 这里K(qk)=（q1+q2+q3+...+qk) 这里【】括号里的就是一个下降数列 T(x)=K(qk) 1(3^2)=9 T(13)=3 (2*9=18)-(0.27777*18)=13 2(5^2)=25 T(73)=8 (2*25=50)+(0.46000*50)=73 3(11^2)=121 T(283)=19 (2*121=242)+(0.16942*242)=283 4(17^2)=289 T(1021)=36 (2*289=578)+(【0.76643】*578)=1021 5(29^2)=841 T(2113)=65 (2*841=1682)+(0.25624*1682)=2113 6(41^2)=1681 T(4051)=106 (2*1681=3362)+(0.20493*3362)=4051 7(59^2)=3481 T(7309)=165 (2*3481=6962)+(0.04984*6962)=7309 8(71^2)=5041 T(12043)=236 (2*5041=10082)+(0.19450*10082)=12043 9(101^2)=10201 T(19699)=337 (2*10201=20402)-(0.03445*20402)=19699 10(107^2)=11449 T(27793)=444 (2*11449=22898)+(0.21377*22898)=27793 11(137^2)=18769 T(38749)=581 (2*18769=37538)+(0.03226*37538)=38749 12(149^2)=22201 T(52183)=730 (2*22201=44402)+(0.17523*44402)=52183 13(179^2)=32041 T(70183)=909 (2*32041=64082)+(0.09520*64082)=70183 14(191^2)=36481 T(88261)=1100 (2*36461=72922)+(0.21034*72922)=88261 15(197^2)=38809 T(107839)=1297 (2*38809=77618)+(【0.38935】*77618)=107839 16(227^2)=51529 T(130651)=1524 (2*51529=103058)+(0.26774*103058)=130651 17(239^2)=57121 T(155863)=1763 (2*57121=114242)+(0.36432*114242)=155863 18(269^2)=72361 T(184999)=2032 (2*72361=144722)+(0.27830*144722)=184999 19(281^2)=78961 T(218083)=2313 (2*78961=157922)+(【0.38095】*157922)=218083 20(311^2)=96721 T(254929)=2624 (2*96721=193442)+(【0.31785】*193442)=254929 21(347^2)=120409 T(296833)=2971 (2*120409=240818)+(0.23260*240818)=296833 22(419^2)=175561 T(345889)=3390 (2*175561=351122)-(0.01490*351122)=345889 23(431^2)=185761 T(402343)=3821 (2*185761=371522)+(0.08295*371522)=402343 24(461^2)=212521 T(461689)=4282 (2*212521=425042)+(0.08621*425042)=461689 25(521^2)=271441 T(529981)=4803 (2*271441=542882)-(0.02376*542882)=529981 26(569^2)=323761 T(605533)=5372 (2*323761=647522)-(0.06484*647522)=605533 27(599^2)=358801 T(685513)=5971 (2*358801=717602)-(0.04471*717602)=685513 28(617^2)=380689 T(775741)=6588 (2*380689=761378)+(0.01886*761378)=775741 29(641^2)=410881 T(866311)=7229 (2*410881=821762)+(0.05421*821762)=866311 30(659^2)=434281 T(959473)=7888 (2*434281=868562)+(0.10466*868562)=959473
关于哥德巴赫素数对D(2^n)的几个函数比较 关于哥德巴赫素数对D(2^n)的几个函数比较 文/施承忠 我们选择2^n是因为2^n是纯偶数，它没有任何奇数因子，它是D(x)的一个下界带，它有很明显的一种上 升趋势。 根据函数的近似度来说Li2(x)*1.3203223好像更接近D(2^n).但是对于证明D(2^n)无限多时(∑q)/4是 强大的，因为(∑p)/4与D(2^n)是次同构的. 【2^n】【D(2^n)】【(∑q ( q是孪生素数,q≤√x))/4】 【哈代积分/2】 【2^02】【0】 【0】 【1.269】 【2^03】【1】 【0】 【2.144】 【2^04】【2】 【0.75】 【3.029】 【2^05】【2】 【2】 【4.101】 【2^06】【5】 【2】 【5.536】 【2^07】【3】 【4.75】 【7.593】 【2^08】【8】 【4.75】 【10.686】 【2^09】【11】 【9】 【15.506】 【2^10】【22】 【16】 【23.229】 【2^11】【25】 【26.5】 【35.847】 【2^12】【53】 【41.25】 【56.987】 【2^13】【76】 【59】 【92.734】 【2^14】【151】 【111】 【154.057】 【2^15】【244】 【227.5】 【260.413】 【2^16】【435】 【440.75】 【446.631】 【2^17】【749】 【742.75】 【775.398】 【2^18】【1314】 【1070.5】 【1360.106】 【2^19】【2367】 【1972】 【2406.798】 【2^20】【4239】 【3275.5】 【4291.443】 【2^21】【7471】 【6581.75】 【7702.733】 【2^22】【13705】 【13124】 【13906.696】 【2^23】【24928】 【24023】 【25238.362】 【2^24】【45746】 【47962.25】 【46017.598】 【2^25】【83467】 【88206.5】 【84259.02】 【2^26】【153850】 【152239.75】 【154871.549】 【2^27】【283746】 【279878.25】 【285657.713】 【2^28】【525236】 【493235】 【528584.579】 【2^29】【975685】 【994559.25】 【980997.432】 【2^30】【1817111】 【1799847.75】 【1825616.753】 【2^31】【3390038】 【3286587.25】 【3406073.903】 【2^32】【6341424】 【6095934.5】 【6369785.161】 【2^33】【11891654 【11700021.25】 【11938594.33】 【2^34】【22336060】 【22324822】 【22422163.85】
关于哥德巴赫素数对D(2^n)的几个函数比较 关于哥德巴赫素数对D(2^n)的几个函数比较 文/施承忠 我们选择2^n是因为2^n是纯偶数，它没有任何奇数因子，它是D(x)的一个下界带，它有很明显的一种上 升趋势。 根据函数的近似度来说Li2(x)*1.3203223好像更接近D(2^n).但是对于证明D(2^n)无限多时(∑q)/4是 强大的，因为(∑p)/4与D(2^n)是次同构的. 【2^n】【D(2^n)】【(∑q ( q是孪生素数,q≤√x))/4】 【哈代积分/2】 【2^02】【0】 【0】 【1.269】 【2^03】【1】 【0】 【2.144】 【2^04】【2】 【0.75】 【3.029】 【2^05】【2】 【2】 【4.101】 【2^06】【5】 【2】 【5.536】 【2^07】【3】 【4.75】 【7.593】 【2^08】【8】 【4.75】 【10.686】 【2^09】【11】 【9】 【15.506】 【2^10】【22】 【16】 【23.229】 【2^11】【25】 【26.5】 【35.847】 【2^12】【53】 【41.25】 【56.987】 【2^13】【76】 【59】 【92.734】 【2^14】【151】 【111】 【154.057】 【2^15】【244】 【227.5】 【260.413】 【2^16】【435】 【440.75】 【446.631】 【2^17】【749】 【742.75】 【775.398】 【2^18】【1314】 【1070.5】 【1360.106】 【2^19】【2367】 【1972】 【2406.798】 【2^20】【4239】 【3275.5】 【4291.443】 【2^21】【7471】 【6581.75】 【7702.733】 【2^22】【13705】 【13124】 【13906.696】 【2^23】【24928】 【24023】 【25238.362】 【2^24】【45746】 【47962.25】 【46017.598】 【2^25】【83467】 【88206.5】 【84259.02】 【2^26】【153850】 【152239.75】 【154871.549】 【2^27】【283746】 【279878.25】 【285657.713】 【2^28】【525236】 【493235】 【528584.579】 【2^29】【975685】 【994559.25】 【980997.432】 【2^30】【1817111】 【1799847.75】 【1825616.753】 【2^31】【3390038】 【3286587.25】 【3406073.903】 【2^32】【6341424】 【6095934.5】 【6369785.161】 【2^33】【11891654 【11700021.25】 【11938594.33】 【2^34】【22336060】 【22324822】 【22422163.85】
哥德巴赫偶数分拆筛法的写法 哥德巴赫偶数分拆筛法的写法 文/施承忠 D(x)=n的下界,都有一个写法 4D(12)=4 【1】(1) 【1】(11) 【3】【(5)(7)(7)】 【3】(3)(9) 【5】【(5)】 4D(68)=8 【1】(1) 【1】(67) 【3】【(7)(61)(31)】 【3】(5)(63)(11) 【5】【(37)(37)(31)(61)(7)】 【5】(3)(65)(13)(55)(43)(25) 【7】(19)(49) 【7】 【9】(57)(17)(51)(23)(45)(29)(39)(41)(27)(47)(21)(53)(15)(59)(9) 4D(128)=12 【1】(1) 【1】(127) 【3】【(19)(109)(31)】 【3】(5)(123)(11) 【5】【(97)(61)(67)(67)(61)】 【5】(3)(125)(13)(115)(43) 【7】(37)(91)(79)(49) 【7】 【9】(117)(17)(111)(23)(105)(29)(99)(41)(87)(47)(81)(53) 【9】(75)(59)(69)(71)(57)(83)(45)(89)(39) 【11】【(97)(31)(109)(19)】 【11】(7)(121) 【13】 【13】 【15】(101)(27)(107)(21)(113)(15) 【15】 【17】 【17】 【19】 【19】 【21】 【21】 【23】 【23】 【25】(85)(73)(55)(103)(25) 4D(152)=16 【1】(1) 【1】(151) 【3】【(3)(149)(13)】 【3】(5)(147)(11) 【5】【(139)(43)(109)(73)(79)】 【5】(7)(145)(37)(115)(47) 【7】(19)(133)(61)(91)(103)(49) 【7】 【9】(23)(129)(29)(123)(41)(111)(53)(99)(59) 【9】(93)(71)(81)(83)(69)(89)(63)(101)(51) 【11】【(79)(73)(109)(43)(139)(13)(149)(3)】 【11】(31)(121) 【13】 【13】、 【15】(141)(17)(135)(107)(45)(113)(39)(131)(21)(137)(15) 【15】 【17】 【17】 【19】 【19】 【23】 【23】 【25】(105)(67)(85)(97)(55)(127)(25) 4D(188)=20 【1】 【1】 【3】【(7)(181)(31)】 【3】(5)(183)(11) 【5】【(157)(37)(151)(61)(127)】 【5】(3)(185)(13)(175)(43) 【7】(97)(91)(139)(49) 【7】 【9】(177)(17)(171)(23)(165)(29)(159)(41)(147)(47)(141)(53) 【9】(135)(59)(129)(71)(117)(83)(105)(89)(99) 【11】【(79)(109)(109)(79)(127)(61)(151)(37)(157)】 【11】(67)(121) 【13】(19)(169) 【13】 【15】(101)(87)(107)(81)(113)(75)(131)(57)(137)(51)(149)(39)(167)(21)(173) 【15】(15)(179)(9) 【17】【(31)(181)(7)】 【17】 【19】 【19】 【21】 【21】 【23】 【23】 【25】(145)(73)(115)(103)(85)(163)(25) 大【】中的都是哥德巴赫素数
哥德巴赫偶数分拆筛法的写法 哥德巴赫偶数分拆筛法的写法 文/施承忠 D(x)=n的下界,都有一个写法 4D(12)=4 【1】(1) 【1】(11) 【3】【(5)(7)(7)】 【3】(3)(9) 【5】【(5)】 4D(68)=8 【1】(1) 【1】(67) 【3】【(7)(61)(31)】 【3】(5)(63)(11) 【5】【(37)(37)(31)(61)(7)】 【5】(3)(65)(13)(55)(43)(25) 【7】(19)(49) 【7】 【9】(57)(17)(51)(23)(45)(29)(39)(41)(27)(47)(21)(53)(15)(59)(9) 4D(128)=12 【1】(1) 【1】(127) 【3】【(19)(109)(31)】 【3】(5)(123)(11) 【5】【(97)(61)(67)(67)(61)】 【5】(3)(125)(13)(115)(43) 【7】(37)(91)(79)(49) 【7】 【9】(117)(17)(111)(23)(105)(29)(99)(41)(87)(47)(81)(53) 【9】(75)(59)(69)(71)(57)(83)(45)(89)(39) 【11】【(97)(31)(109)(19)】 【11】(7)(121) 【13】 【13】 【15】(101)(27)(107)(21)(113)(15) 【15】 【17】 【17】 【19】 【19】 【21】 【21】 【23】 【23】 【25】(85)(73)(55)(103)(25) 4D(152)=16 【1】(1) 【1】(151) 【3】【(3)(149)(13)】 【3】(5)(147)(11) 【5】【(139)(43)(109)(73)(79)】 【5】(7)(145)(37)(115)(47) 【7】(19)(133)(61)(91)(103)(49) 【7】 【9】(23)(129)(29)(123)(41)(111)(53)(99)(59) 【9】(93)(71)(81)(83)(69)(89)(63)(101)(51) 【11】【(79)(73)(109)(43)(139)(13)(149)(3)】 【11】(31)(121) 【13】 【13】、 【15】(141)(17)(135)(107)(45)(113)(39)(131)(21)(137)(15) 【15】 【17】 【17】 【19】 【19】 【23】 【23】 【25】(105)(67)(85)(97)(55)(127)(25) 4D(188)=20 【1】 【1】 【3】【(7)(181)(31)】 【3】(5)(183)(11) 【5】【(157)(37)(151)(61)(127)】 【5】(3)(185)(13)(175)(43) 【7】(97)(91)(139)(49) 【7】 【9】(177)(17)(171)(23)(165)(29)(159)(41)(147)(47)(141)(53) 【9】(135)(59)(129)(71)(117)(83)(105)(89)(99) 【11】【(79)(109)(109)(79)(127)(61)(151)(37)(157)】 【11】(67)(121) 【13】(19)(169) 【13】 【15】(101)(87)(107)(81)(113)(75)(131)(57)(137)(51)(149)(39)(167)(21)(173) 【15】(15)(179)(9) 【17】【(31)(181)(7)】 【17】 【19】 【19】 【21】 【21】 【23】 【23】 【25】(145)(73)(115)(103)(85)(163)(25) 大【】中的都是哥德巴赫素数
孪生素数两次筛法的写法 孪生素数两次筛法的写法 文/施承忠 素数和孪生素数在这个写法中不但不会重复，而且会一个不漏地写下去。 【3】【(3)(5)(5)】 【3】(7)(9)(13) 【5】【(7)(11)(13)(17)(19)】 【5】(23)(25)(53)(55)(83) 【7】(47)(49)(89)(91) 【7】 【9】(15)(19)(21)(31)(33)(37)(39)(43)(45) 【9】(61)(63)(67)(69)(73)(75)(79)(81)(97) 【11】【(29)(31)(41)(43)(59)(61)(71)(73)(101)(103)(107)】 【15】(99) 【17】【(109)】 【25】(85)(103)(105) 用这种方式可以写到无穷。 加大【】号里面的是孪生素数。
孪生素数两次筛法的写法 孪生素数两次筛法的写法 文/施承忠 素数和孪生素数在这个写法中不但不会重复，而且会一个不漏地写下去。 【3】【(3)(5)(5)】 【3】(7)(9)(13) 【5】【(7)(11)(13)(17)(19)】 【5】(23)(25)(53)(55)(83) 【7】(47)(49)(89)(91) 【7】 【9】(15)(19)(21)(31)(33)(37)(39)(43)(45) 【9】(61)(63)(67)(69)(73)(75)(79)(81)(97) 【11】【(29)(31)(41)(43)(59)(61)(71)(73)(101)(103)(107)】 【15】(99) 【17】【(109)】 【25】(85)(103)(105) 用这种方式可以写到无穷。 加大【】号里面的是孪生素数。
埃拉托斯特尼筛法的重要结果 素数定理 文/施承忠 1914.1.4 埃拉托斯特尼筛法的重要结果 我们有一个表示全部n^2个自然数的一个加法公式： n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n,它表示了n^2的全部自然数.以下是当n=7时的表法数： 【1】=(1) 【1】=(2) 【2】=(3)(4) 【2】=(5)(6) 【3】=(7)(8)(9) 【3】=(10)(11)(12) 【4】=(13)(14)(15)(16) 【4】=(17)(18)(19)(20) 【5】=(21)(22)(23)(24)(25) 【5】=(26)(27)(28)(29)(30) 【6】=(31)(32)(33)(34)(35)(36) 【6】=(37)(38)(39)(40)(41)(42) 【7】=(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49) 刚好是7^2=49个数.这里2，3，5，7是所有这些数中的构成素因子.我们将(1)(4)归入到【1】中，其余的合数都归入到它们的最小素因子【2】【3】【5】【7】中去. 合数部分： 【2】(6)(8)(10)(12)(14)(16)(18)(20)(22)(24)(26)(28)(30)(32)(34)(36)(38)(40)(42)(44)(46)(48) 【3】(9)(15)(21)(27)(33)(39)(45) 【5】(25)(35) 【7】(49) 把那些素数也归入到【2】【3】【5】【7】这些素数中去. 素数部分： 【2】(2)(3) 【3】(5)(7)(11) 【5】(13)(17)(19)(23)(29) 【7】(31)(37)(41)(43)(47) 我们可以看出合数部分愈到下面愈少，而素数部分愈到下面愈多.而且素数部分有这样一个规则，一个素数p必然有p个素数，虽然素数7中我们只写入5个素数，事实上 我们也完全可以写入7个素数，因为我们只要再写上(53)(59)就可以了.那么合数部分我们是否也可以这样写呢？完全可以. 我们把2的合数写成： 【2】(6)(8) 素数部分我们只写一项，合数部分我们写2项 【4】(10)(12)(14)(16) 【4】(18)(20)(22)(24) 【6】(26)(28)(30)(32)(34)(36) 【6】(38)(40)(42)(44)(46)(48) 把3的合数写成 【3】(9)(15)(21) 【9】(27)(33)(39)(45) 【9】 在上面一个【9】中我们只要再写入(51)(57)就可以了，在下面一个【9】中我们只要写入(63)(69)(75)(81)(87)(93)(99)(105)(111)就可以了. 【7】(49) 我们只要写入(77)(91)(119)(133)(161)(203)就可以了. 现在我们知道合数都有他们的归类，素数也有他们的归类，它们各自只要计算自己的部分就可以了，所以我们对于π(x)可以归结为一种简单的结果，我们有： π(x)∼K(x)，其中K(x)=p1+p2+p3+...pk,pk≤√ x. 我们可以用数学归纳法来证明当pk=pk+1时也不例外.因为当(pk-1)^2到pk^2时，【pk】满足了【pk】=pk1,pk2,pk3,...,pkpkk.而pk+1早就在π(x)中存在，那么在 pk^2到(pk+1)^2中一定存在素数，假定不存在pk+1,那么它至少是pk个素数，但pk+1的合数只有一个，那么它至少有(pk)-1个素数，而且此素数还可以扩大到(pk+1)^2以 外，所以一定存在p(k+1)1,p(k+1)2,p(k+1)3,...,p(k+1)p(k+1)=pk+1个素数. 我们还可以证明K(x)有两种情况是不可能的： 第一； K(x)不可能为0，除非x<3.因为x>3时，K(4)=2是素数. 第二； k(x)不可能为x,因为所有的自然数不可能都是素数. 所以0<K(x)<x 通过以上两点，我们可以知道：当π(x)<K(x)时，K(x)中的素数是密的；当π(x)>K(x)时，k(x)中的素数是稀的.但K(x)不可能永远都是密的，K(x)也不可能永远都 是稀的.所以有无穷多个x，使得π(x)=K(x). 证毕.
埃拉托斯特尼筛法的标准写法 埃拉托斯特尼筛法的标准写法 自然数在这个标准写法中不但不会重复，而且会一个不漏地写下去。 【1】(1） 【1】(4) 【2】【(2)(3)】 【2】(6)(8) 【3】【(5)(7)(11)】 【3】(9)(15)(21) 【4】(10)(12)(14)(16) 【4】(18)(20)(22)(24) 【5】【(13)(17)(19)(23)(29)】 【5】(25)(35)(55)(65)(85) 【6】(26)(28)(30)(32)(34)(36) 【6】(38)(40)(42)(44)(46)(48) 【7】【(31)(37)(41)(43)(47)(53)(59)】 【7】(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203) 【8】(50)(52)(54)(56)(58)(60)(62)(64) 【8】(66)(68)(70)(72)(74)(76)(78)(80) 【9】(27)(33)(39)(45)(51)(57)(63)(69)(75) 【9】(81)(87)(93)(99)(105)(111)(117)(123)(129) 【10】(82)(84)(86)(88)(90)(92)(94)(96)(98)(100) 【10】(102)(104)(106)(108)(110)(112)(114)(116)(118)(120) 用这种方式可以写到无穷。
素数定理 素数定理 文/施承忠 1914.1.4 埃拉托斯特尼筛法的重要结果 我们有一个表示全部n^2个自然数的一个加法公式： n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n,它表示了n^2的全部自然数.以下是当n=7时的表法数： 【1】=(1) 【1】=(2) 【2】=(3)(4) 【2】=(5)(6) 【3】=(7)(8)(9) 【3】=(10)(11)(12) 【4】=(13)(14)(15)(16) 【4】=(17)(18)(19)(20) 【5】=(21)(22)(23)(24)(25) 【5】=(26)(27)(28)(29)(30) 【6】=(31)(32)(33)(34)(35)(36) 【6】=(37)(38)(39)(40)(41)(42) 【7】=(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49) 刚好是7^2=49个数.这里2，3，5，7是所有这些数中的构成素因子.我们将(1)(4)归入到【1】中，其余的合数都归入到它们的最小素因子【2】【3】【5】【7】中去. 合数部分： 【2】(6)(8)(10)(12)(14)(16)(18)(20)(22)(24)(26)(28)(30)(32)(34)(36)(38)(40)(42)(44)(46)(48) 【3】(9)(15)(21)(27)(33)(39)(45) 【5】(25)(35) 【7】(49) 把那些素数也归入到【2】【3】【5】【7】这些素数中去. 素数部分： 【2】(2)(3) 【3】(5)(7)(11) 【5】(13)(17)(19)(23)(29) 【7】(31)(37)(41)(43)(47) 我们可以看出合数部分愈到下面愈少，而素数部分愈到下面愈多.而且素数部分有这样一个规则，一个素数p必然有p个素数，虽然素数7中我们只写入5个素数，事实上 我们也完全可以写入7个素数，因为我们只要再写上(53)(59)就可以了.那么合数部分我们是否也可以这样写呢？完全可以. 我们把2的合数写成： 【2】(6)(8) 素数部分我们只写一项，合数部分我们写2项 【4】(10)(12)(14)(16) 【4】(18)(20)(22)(24) 【6】(26)(28)(30)(32)(34)(36) 【6】(38)(40)(42)(44)(46)(48) 把3的合数写成 【3】(9)(15)(21) 【9】(27)(33)(39)(45) 【9】 在上面一个【9】中我们只要再写入(51)(57)就可以了，在下面一个【9】中我们只要写入(63)(69)(75)(81)(87)(93)(99)(105)(111)就可以了. 【7】(49) 我们只要写入(77)(91)(119)(133)(161)(203)就可以了. 现在我们知道合数都有他们的归类，素数也有他们的归类，它们各自只要计算自己的部分就可以了，所以我们对于π(x)可以归结为一种简单的结果，我们有： π(x)∼K(x)，其中K(x)=p1+p2+p3+...pk,pk≤√ x. 我们可以用数学归纳法来证明当pk=pk+1时也不例外.因为当(pk-1)^2到pk^2时，【pk】满足了【pk】=pk1,pk2,pk3,...,pkpkk.而pk+1早就在π(x)中存在，那么在 pk^2到(pk+1)^2中一定存在素数，假定不存在pk+1,那么它至少是pk个素数，但pk+1的合数只有一个，那么它至少有(pk)-1个素数，而且此素数还可以扩大到(pk+1)^2以 外，所以一定存在p(k+1)1,p(k+1)2,p(k+1)3,...,p(k+1)p(k+1)=pk+1个素数. 我们还可以证明K(x)有两种情况是不可能的： 第一； K(x)不可能为0，除非x<3.因为x>3时，K(4)=2是素数. 第二； k(x)不可能为x,因为所有的自然数不可能都是素数. 所以0<K(x)<x 通过以上两点，我们可以知道：当π(x)<K(x)时，K(x)中的素数是密的；当π(x)>K(x)时，k(x)中的素数是稀的.但K(x)不可能永远都是密的，K(x)也不可能永远都 是稀的.所以有无穷多个x，使得π(x)=K(x). 证毕.
把素数装箱 把素数装箱 文/施承忠 自然数的筛法定位装箱 什么叫筛法定位装箱法？因为我们有一个平方公式：n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n,我们把不大于n的所有素数取出来；我们干吗呢？我们要对n平方个自然数进行埃拉托斯 特尼筛法装箱.我们现在把它写成这样： 【1】=a¹₁ 【1】=b¹₁ 【2】=a²₁a²₁ 【2】=b²₁b²₂ 【3】=a³₁a³₂a³₃ 【3】=b³₁b³₂b³₃ . . . 【n】=a⁺₁a⁺₂a⁺₃...a⁺₊ 自然数被筛前是这样写的： 【1】=(1) 【1】=(2) 【2】=(3)(4) 【2】=(5)(6) 【3】=(7)(8)(9) 【3】=(10)(11)(12) . . . 【n】=(a₁)(a₂)(n₃)...(n) 我们把7平方个自然数写成这样： 【1】=(1) 【1】=(2) 【2】=(3)(4) 【2】=(5)(6) 【3】=(7)(8)(9) 【3】=(10)(11)(12) 【4】=(13)(14)(15)(16) 【4】=(17)(18)(19)(20) 【5】=(21)(22)(23)(24)(25) 【5】=(26)(27)(28)(29)(30) 【6】=(31)(32)(33)(34)(35)(36) 【6】=(37)(38)(39)(40)(41)(42) 【7】=(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49) 现在我们将被素数2筛出来的合数分别装入标有【1】【2】【4】【6】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【1】=(4) 【2】=(6)(8) 【4】=(10)(12)(14)(16) 【4】=(18)(20)(22)(24) 【6】=(26)(28)(30)(32)(34)(36) 【6】=(38)(40)(42)(44)(46)(48) 我们再把被素数3筛出来的合数分别装人标有【3】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【3】=(9)(15)(21) 【0】=(27)(33)(39)(45) 把被素数5筛出来的合数分别装入标有【5】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【0】=(25)(35) 把被素数7筛出来的合数分别装入标有【7】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【0】=(49) 最后将剩下来的素数分别装入标有【2】【3】【5】【7】的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【2】=(2)(3) 【3】=(5)(7)(11) 【5】=(13)(17)(19)(23)(29) 【0】=(31)(37)(41)(43)(47) 现在我们发现一个问题，为什么有那么多标有【0】的箱子.我说明一下：那些标有【0】的箱子都是临时用的箱子，那是因为它们货物还没有到齐，到齐以后我们才可以 标上真正的箱标.比如：【0】=(27)(33)(39)(45)必须满足(27)(33)(39)(45)(51)(57)(63)(69)(75)才可以封箱并且把【0】换成【9】，【0】=(25)(35)必须满足(25) (35)(55)(65)(85)才可以封箱并且把【0】换成【5】，【0】=(49)必须满足(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)才可以封箱并且把【0】换成【7】，【0】=(31)(37) (41)(43)(47)必须满足(31)(37)(41)(43)(47)(53)(59)才可以封箱并且把【0】换成【7】.现在还有一个问题，自然数1它既不是素数又不是合数它应该装什么箱子呢？ 这是一个特例，我们把它放入到【1】的箱子中去，因为【1】的箱子有两个，所以我们把4也放入到【1】的这个箱子中去.这样我们就没有问题了. 我们把这种写法叫做筛法定位装箱.在这里我们已经将非素数部分【1】定位装箱了，合数部分【2】【3】【4】【6】，素数部分【2】【3】【5】定位装箱了,以后不 管怎么筛，这些项都不将改变.我们这样做是合理的，因为它始终符合n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n.如果我们不断做下去，就有无穷多连续的项被固定下来,我们的素数部分也 会出现这样的无穷多项,实际上它与合数的箱子一点关系也没有,只要有一个素数就会有一个箱子，如果你说这是最后一个素数，那么你的箱子装满素数以后，你还是最后一个 素数吗？所以素数是无穷尽的.
把素数装箱 把素数装箱 文/施承忠 自然数的筛法定位装箱 什么叫筛法定位装箱法？因为我们有一个平方公式：n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n,我们把不大于n的所有素数取出来；我们干吗呢？我们要对n平方个自然数进行埃拉托斯 特尼筛法装箱.我们现在把它写成这样： 【1】=a¹₁ 【1】=b¹₁ 【2】=a²₁a²₁ 【2】=b²₁b²₂ 【3】=a³₁a³₂a³₃ 【3】=b³₁b³₂b³₃ . . . 【n】=a⁺₁a⁺₂a⁺₃...a⁺₊ 自然数被筛前是这样写的： 【1】=(1) 【1】=(2) 【2】=(3)(4) 【2】=(5)(6) 【3】=(7)(8)(9) 【3】=(10)(11)(12) . . . 【n】=(a₁)(a₂)(n₃)...(n) 我们把7平方个自然数写成这样： 【1】=(1) 【1】=(2) 【2】=(3)(4) 【2】=(5)(6) 【3】=(7)(8)(9) 【3】=(10)(11)(12) 【4】=(13)(14)(15)(16) 【4】=(17)(18)(19)(20) 【5】=(21)(22)(23)(24)(25) 【5】=(26)(27)(28)(29)(30) 【6】=(31)(32)(33)(34)(35)(36) 【6】=(37)(38)(39)(40)(41)(42) 【7】=(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49) 现在我们将被素数2筛出来的合数分别装入标有【1】【2】【4】【6】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【1】=(4) 【2】=(6)(8) 【4】=(10)(12)(14)(16) 【4】=(18)(20)(22)(24) 【6】=(26)(28)(30)(32)(34)(36) 【6】=(38)(40)(42)(44)(46)(48) 我们再把被素数3筛出来的合数分别装人标有【3】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【3】=(9)(15)(21) 【0】=(27)(33)(39)(45) 把被素数5筛出来的合数分别装入标有【5】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【0】=(25)(35) 把被素数7筛出来的合数分别装入标有【7】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【0】=(49) 最后将剩下来的素数分别装入标有【2】【3】【5】【7】的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【2】=(2)(3) 【3】=(5)(7)(11) 【5】=(13)(17)(19)(23)(29) 【0】=(31)(37)(41)(43)(47) 现在我们发现一个问题，为什么有那么多标有【0】的箱子.我说明一下：那些标有【0】的箱子都是临时用的箱子，那是因为它们货物还没有到齐，到齐以后我们才可以 标上真正的箱标.比如：【0】=(27)(33)(39)(45)必须满足(27)(33)(39)(45)(51)(57)(63)(69)(75)才可以封箱并且把【0】换成【9】，【0】=(25)(35)必须满足(25) (35)(55)(65)(85)才可以封箱并且把【0】换成【5】，【0】=(49)必须满足(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)才可以封箱并且把【0】换成【7】，【0】=(31)(37) (41)(43)(47)必须满足(31)(37)(41)(43)(47)(53)(59)才可以封箱并且把【0】换成【7】.现在还有一个问题，自然数1它既不是素数又不是合数它应该装什么箱子呢？ 这是一个特例，我们把它放入到【1】的箱子中去，因为【1】的箱子有两个，所以我们把4也放入到【1】的这个箱子中去.这样我们就没有问题了. 我们把这种写法叫做筛法定位装箱.在这里我们已经将非素数部分【1】定位装箱了，合数部分【2】【3】【4】【6】，素数部分【2】【3】【5】定位装箱了,以后不 管怎么筛，这些项都不将改变.我们这样做是合理的，因为它始终符合n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n.如果我们不断做下去，就有无穷多连续的项被固定下来,我们的素数部分也 会出现这样的无穷多项,实际上它与合数的箱子一点关系也没有,只要有一个素数就会有一个箱子，如果你说这是最后一个素数，那么你的箱子装满素数以后，你还是最后一个 素数吗？所以素数是无穷尽的.
把素数装箱 把素数装箱 文/施承忠 自然数的筛法定位装箱 什么叫筛法定位装箱法？因为我们有一个平方公式：n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n,我们把不大于n的所有素数取出来；我们干吗呢？我们要对n平方个自然数进行埃拉托斯 特尼筛法装箱.我们现在把它写成这样： 【1】=a¹₁ 【1】=b¹₁ 【2】=a²₁a²₁ 【2】=b²₁b²₂ 【3】=a³₁a³₂a³₃ 【3】=b³₁b³₂b³₃ . . . 【n】=a⁺₁a⁺₂a⁺₃...a⁺₊ 自然数被筛前是这样写的： 【1】=(1) 【1】=(2) 【2】=(3)(4) 【2】=(5)(6) 【3】=(7)(8)(9) 【3】=(10)(11)(12) . . . 【n】=(a₁)(a₂)(n₃)...(n) 我们把7平方个自然数写成这样： 【1】=(1) 【1】=(2) 【2】=(3)(4) 【2】=(5)(6) 【3】=(7)(8)(9) 【3】=(10)(11)(12) 【4】=(13)(14)(15)(16) 【4】=(17)(18)(19)(20) 【5】=(21)(22)(23)(24)(25) 【5】=(26)(27)(28)(29)(30) 【6】=(31)(32)(33)(34)(35)(36) 【6】=(37)(38)(39)(40)(41)(42) 【7】=(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49) 现在我们将被素数2筛出来的合数分别装入标有【1】【2】【4】【6】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【1】=(4) 【2】=(6)(8) 【4】=(10)(12)(14)(16) 【4】=(18)(20)(22)(24) 【6】=(26)(28)(30)(32)(34)(36) 【6】=(38)(40)(42)(44)(46)(48) 我们再把被素数3筛出来的合数分别装人标有【3】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【3】=(9)(15)(21) 【0】=(27)(33)(39)(45) 把被素数5筛出来的合数分别装入标有【5】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【0】=(25)(35) 把被素数7筛出来的合数分别装入标有【7】中的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【0】=(49) 最后将剩下来的素数分别装入标有【2】【3】【5】【7】的箱子里去，装进去以后我们把它写成这样： 【2】=(2)(3) 【3】=(5)(7)(11) 【5】=(13)(17)(19)(23)(29) 【0】=(31)(37)(41)(43)(47) 现在我们发现一个问题，为什么有那么多标有【0】的箱子.我说明一下：那些标有【0】的箱子都是临时用的箱子，那是因为它们货物还没有到齐，到齐以后我们才可以 标上真正的箱标.比如：【0】=(27)(33)(39)(45)必须满足(27)(33)(39)(45)(51)(57)(63)(69)(75)才可以封箱并且把【0】换成【9】，【0】=(25)(35)必须满足(25) (35)(55)(65)(85)才可以封箱并且把【0】换成【5】，【0】=(49)必须满足(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)才可以封箱并且把【0】换成【7】，【0】=(31)(37) (41)(43)(47)必须满足(31)(37)(41)(43)(47)(53)(59)才可以封箱并且把【0】换成【7】.现在还有一个问题，自然数1它既不是素数又不是合数它应该装什么箱子呢？ 这是一个特例，我们把它放入到【1】的箱子中去，因为【1】的箱子有两个，所以我们把4也放入到【1】的这个箱子中去.这样我们就没有问题了. 我们把这种写法叫做筛法定位装箱.在这里我们已经将非素数部分【1】定位装箱了，合数部分【2】【3】【4】【6】，素数部分【2】【3】【5】定位装箱了,以后不 管怎么筛，这些项都不将改变.我们这样做是合理的，因为它始终符合n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n.如果我们不断做下去，就有无穷多连续的项被固定下来,我们的素数部分也 会出现这样的无穷多项,实际上它与合数的箱子一点关系也没有,只要有一个素数就会有一个箱子，如果你说这是最后一个素数，那么你的箱子装满素数以后，你还是最后一个 素数吗？所以素数是无穷尽的.
伟大的定理 伟大的定理 文/施承忠 π(x)∼K(x) 有人说你说这定理是伟大的，我说一点也不伟大.你说有无穷多个x使得π(x)=K(x)，但是我说还有无穷多个x不是π(x)=K(x). 现在轮到我来问你：你承认不承认n^2=2(1+2+3+...+n)-n这个公式，你无法推翻这个公式，因为它对于任意整数n都是如此地准确无误.那么你承认不承认在x中有很 多素数存在，你也无法否认它的存在，那么在这个公式中它应该放在哪一些项中，当然不能在合数项中，我们暂却把它放入素数项中,即K(x)∼p1+p2+p3+...+pk,pk不大 于n. 现在看我对于有无穷多个x有π(x)≠K(x)的解释：我说π(x)=K(x)是它一个终极的任务，如果π(x)<K(x),说明这个时候它没有完成任务；如果π(x)>K(x)说明这个 时候它超额完成了任务；如果π(x)=K(x)，说明这个时候它刚好完成了任务，这是很正常的.而且还有无穷多个x有π(x)=K(x)来支撑这个理由.并且这个∼又那么完美无 缺，它把<>=都用上了，现在你还能推翻这个公式吗？我说你推翻不了它，它是那么的天衣无缝. 上面的情况你也看到了，现在我再来讲讲它的另一个神奇之处：因为K(x)是不大于√ x的所有素数，正是这些素数作为x中的筛子筛出了x中的所有素数，它把π(x)和 x中的筛素数如此紧密地联系在一起，这还不伟大吗？ 你看在π(x)∼x/lnx,π(x)∼Li(x)有没有一个∼号变为=，没有！而π(x)=K(x)有，而且有无穷多个.
伟大的定理 伟大的定理 文/施承忠 π(x)∼K(x) 有人说你说这定理是伟大的，我说一点也不伟大.你说有无穷多个x使得π(x)=K(x)，但是我说还有无穷多个x不是π(x)=K(x). 现在轮到我来问你：你承认不承认n^2=2(1+2+3+...+n)-n这个公式，你无法推翻这个公式，因为它对于任意整数n都是如此地准确无误.那么你承认不承认在x中有很 多素数存在，你也无法否认它的存在，那么在这个公式中它应该放在哪一些项中，当然不能在合数项中，我们暂却把它放入素数项中,即K(x)∼p1+p2+p3+...+pk,pk不大 于n. 现在看我对于有无穷多个x有π(x)≠K(x)的解释：我说π(x)=K(x)是它一个终极的任务，如果π(x)<K(x),说明这个时候它没有完成任务；如果π(x)>K(x)说明这个 时候它超额完成了任务；如果π(x)=K(x)，说明这个时候它刚好完成了任务，这是很正常的.而且还有无穷多个x有π(x)=K(x)来支撑这个理由.并且这个∼又那么完美无 缺，它把<>=都用上了，现在你还能推翻这个公式吗？我说你推翻不了它，它是那么的天衣无缝. 上面的情况你也看到了，现在我再来讲讲它的另一个神奇之处：因为K(x)是不大于√ x的所有素数，正是这些素数作为x中的筛子筛出了x中的所有素数，它把π(x)和 x中的筛素数如此紧密地联系在一起，这还不伟大吗？ 你看在π(x)∼x/lnx,π(x)∼Li(x)有没有一个∼号变为=，没有！而π(x)=K(x)有，而且有无穷多个.
我的结论是： 我的结论是： 有无穷多个x，使得2T(x)=K(x). 其中：T(x)为不大于x的孪生素数对数但（3，5）除外. K(x)为不大于√ x的孪生素数中取每一对中较小的一个之和. 比如 2T(45181)=K(45181)=1294 2T(67429)=K(67429)=1760 2T(93703)=K(93703)=2310 2T(126859)=K(126859)=2968
我的结论是： 我的结论是： 有无穷多个x，使得2T(x)=K(x). 其中：T(x)为不大于x的孪生素数对数但（3，5）除外. K(x)为不大于√ x的孪生素数中取每一对中较小的一个之和. 比如 2T(45181)=K(45181)=1294 2T(67429)=K(67429)=1760 2T(93703)=K(93703)=2310 2T(126859)=K(126859)=2968
我的结论是： 我的结论是： 有无穷多个x，使得2T(x)=K(x). 其中：T(x)为不大于x的孪生素数对数但（3，5）除外. K(x)为不大于√ x的孪生素数中取每一对中较小的一个之和. 比如 2T(45181)=K(45181)=1294 2T(67429)=K(67429)=1760 2T(93703)=K(93703)=2310 2T(126859)=K(126859)=2968
我的结论是：有无穷多个x使得π(x)=K(x).比如： 我的结论是：有无穷多个x使得π(x)=K(x).比如： π(4)=K(4)=2 π(11)=K(11)=5 π(29)=K(29)=10 π(59)=K(59)=17 π(179)=K(179)=41 π(389)=K(389)=77 π(541)=K(541)=100 π(5399)=K(5399)=712 其中K(x)是不大于√ x的全部素数之和。.
我的结论是：有无穷多个x使得π(x)=K(x).比如： 我的结论是：有无穷多个x使得π(x)=K(x).比如： π(4)=K(4)=2 π(11)=K(11)=5 π(29)=K(29)=10 π(59)=K(59)=17 π(179)=K(179)=41 π(389)=K(389)=77 π(541)=K(541)=100 π(5399)=K(5399)=712 其中K(x)是不大于√ x的全部素数之和。.
我的结论是：有无穷多个x使得π(x)=K(x).比如： 我的结论是：有无穷多个x使得π(x)=K(x).比如： π(4)=K(4)=2 π(11)=K(11)=5 π(29)=K(29)=10 π(59)=K(59)=17 π(179)=K(179)=41 π(389)=K(389)=77 π(541)=K(541)=100 π(5399)=K(5399)=712 其中K(x)是不大于√ x的全部素数之和。.
彻底揭开埃拉托斯特尼筛法之谜 彻底揭开埃拉托斯特尼筛法之谜 数学家们都认为埃拉托斯特尼筛法是一种没有规律的无法确定其剩余数个数的一种筛法，这是因为他们没有掌握这种筛法的规律.在施承忠的《素数定理》中第一次 将这种筛法之规律解释的一清二楚，并得到素数在自然数中个数的一个十分确切的结果.他得到的结果是：x趋向无穷，π(x)=K(x),其中K(x)=p1+p2+p3+...+pk;pk不大于 √ x的全部素数. 现在我们用这一张表格来形象地表现出来. 在表格中我们可以看出当pk-pk-1很小时它在pk-1^2到pk^2中筛出来的素数就很少，而当pk-pk-1很大时它在pk-1^2到pk^2中筛出来的素数就很多，为了要达到它的 目标函数K(x),它必须不断变换pk-pk-1的大小.当<变号为<时一定会存在一些等号.下面我们来看看这种变化的某些过程. π(pk^2)在3^2，5^2，7^2一直比E(pk^2)小，所以在11^2中它把pk-pk-1增大为4使<变为>. 在π(29^2)中把pk-pk-1增大为6 在π(97^2)中把pk-pk-1增大为8 在π(127^2)中来了一个大动作把pk-pk-1突然增大到14 区间 pk-pk-1 素数个数 π(pk^2) 关系式 K(pk^2) 2^2 2 2 2 = 2 2^2__3^2 1 2 4 < 5 3^2__5^2 2 5 9 < 10 5^2__7^2 2 6 15 < 17 7^2__11^2 4 15 30 > 28 11^2__13^2 2 9 39 < 41 13^2__17^2 4 22 61 > 58 17^2__19^2 2 11 72 < 77 19^2__23^2 4 27 99 < 100 23^2__29^2 6 47 146 > 129 29^2__31^2 2 16 162 > 160 31^2__37^2 6 57 219 > 197 37^2__41^2 4 44 263 > 238 41^2__43^2 2 20 283 > 281 43^2__47^2 4 46 329 > 328 47^2__53^2 6 80 409 > 381 53^2__59^2 6 78 487 > 440 59^2__61^2 2 32 519 > 501 61^2__67^2 6 90 609 > 568 67^2__71^2 4 66 675 > 639 71^2__73^2 2 30 705 < 712 73^2__79^2 6 106 811 > 791 79^2__83^2 4 75 886 > 874 83^2__89^2 6 114 1000 > 963 89^2__97^2 8 163 1163 > 1060 97^2__101^2 4 89 1252 > 1161 101^2__103^2 2 42 1294 > 1264 103^2__107^2 4 87 1381 > 1371 107^2__109^2 2 42 1423 < 1480 109^2__113^2 4 100 1523 < 1593 113^2__127^2 14 354 1877 > 1720 127^2__131^2 4 99 1976 > 1851 131^2__137^2 6 165 2141 > 1988 137^2__139^2 2 49 2190 > 2127 139^2__149^2 10 299 2489 > 2276 149^2__151^2 2 58 2547 > 2427 151^2__157^2 6 182 2729 > 3584 157^2__163^2 6 186 2915 > 2747 163^2__167^2 4 128 3043 > 2914 167^2__173^2 6 198 3241 > 3087 173^2__179^2 6 195 3436 > 3266 179^2__181^2 2 76 3512 > 3447 181^2__191^2 10 356 3868 > 3638 191^2__193^2 2 77 3945 > 3831 193^2__197^2 4 144 4089 > 4028 197^2__199^2 2 75 4164 < 4227 199^2__211^2 12 463 4627 > 4438 211^2__223^2 12 479 5106 > 4661 223^2__227^2 4 168 5274 > 4888 227^2__229^2 2 82 5356 > 5117 在表格中我们可以看出，π(pk^2)一直在为实现π(pk^2)=K(pk^2).
彻底揭开埃拉托斯特尼筛法之谜 彻底揭开埃拉托斯特尼筛法之谜 数学家们都认为埃拉托斯特尼筛法是一种没有规律的无法确定其剩余数个数的一种筛法，这是因为他们没有掌握这种筛法的规律.在施承忠的《素数定理》中第一次 将这种筛法之规律解释的一清二楚，并得到素数在自然数中个数的一个十分确切的结果.他得到的结果是：x趋向无穷，π(x)=K(x),其中K(x)=p1+p2+p3+...+pk;pk不大于 √ x的全部素数. 现在我们用这一张表格来形象地表现出来. 在表格中我们可以看出当pk-pk-1很小时它在pk-1^2到pk^2中筛出来的素数就很少，而当pk-pk-1很大时它在pk-1^2到pk^2中筛出来的素数就很多，为了要达到它的 目标函数K(x),它必须不断变换pk-pk-1的大小.当<变号为<时一定会存在一些等号.下面我们来看看这种变化的某些过程. π(pk^2)在3^2，5^2，7^2一直比E(pk^2)小，所以在11^2中它把pk-pk-1增大为4使<变为>. 在π(29^2)中把pk-pk-1增大为6 在π(97^2)中把pk-pk-1增大为8 在π(127^2)中来了一个大动作把pk-pk-1突然增大到14 区间 pk-pk-1 素数个数 π(pk^2) 关系式 K(pk^2) 2^2 2 2 2 = 2 2^2__3^2 1 2 4 < 5 3^2__5^2 2 5 9 < 10 5^2__7^2 2 6 15 < 17 7^2__11^2 4 15 30 > 28 11^2__13^2 2 9 39 < 41 13^2__17^2 4 22 61 > 58 17^2__19^2 2 11 72 < 77 19^2__23^2 4 27 99 < 100 23^2__29^2 6 47 146 > 129 29^2__31^2 2 16 162 > 160 31^2__37^2 6 57 219 > 197 37^2__41^2 4 44 263 > 238 41^2__43^2 2 20 283 > 281 43^2__47^2 4 46 329 > 328 47^2__53^2 6 80 409 > 381 53^2__59^2 6 78 487 > 440 59^2__61^2 2 32 519 > 501 61^2__67^2 6 90 609 > 568 67^2__71^2 4 66 675 > 639 71^2__73^2 2 30 705 < 712 73^2__79^2 6 106 811 > 791 79^2__83^2 4 75 886 > 874 83^2__89^2 6 114 1000 > 963 89^2__97^2 8 163 1163 > 1060 97^2__101^2 4 89 1252 > 1161 101^2__103^2 2 42 1294 > 1264 103^2__107^2 4 87 1381 > 1371 107^2__109^2 2 42 1423 < 1480 109^2__113^2 4 100 1523 < 1593 113^2__127^2 14 354 1877 > 1720 127^2__131^2 4 99 1976 > 1851 131^2__137^2 6 165 2141 > 1988 137^2__139^2 2 49 2190 > 2127 139^2__149^2 10 299 2489 > 2276 149^2__151^2 2 58 2547 > 2427 151^2__157^2 6 182 2729 > 3584 157^2__163^2 6 186 2915 > 2747 163^2__167^2 4 128 3043 > 2914 167^2__173^2 6 198 3241 > 3087 173^2__179^2 6 195 3436 > 3266 179^2__181^2 2 76 3512 > 3447 181^2__191^2 10 356 3868 > 3638 191^2__193^2 2 77 3945 > 3831 193^2__197^2 4 144 4089 > 4028 197^2__199^2 2 75 4164 < 4227 199^2__211^2 12 463 4627 > 4438 211^2__223^2 12 479 5106 > 4661 223^2__227^2 4 168 5274 > 4888 227^2__229^2 2 82 5356 > 5117 在表格中我们可以看出，π(pk^2)一直在为实现π(pk^2)=K(pk^2).
彻底揭开埃拉托斯特尼筛法之谜 彻底揭开埃拉托斯特尼筛法之谜 数学家们都认为埃拉托斯特尼筛法是一种没有规律的无法确定其剩余数个数的一种筛法，这是因为他们没有掌握这种筛法的规律.在施承忠的《素数定理》中第一次 将这种筛法之规律解释的一清二楚，并得到素数在自然数中个数的一个十分确切的结果.他得到的结果是：x趋向无穷，π(x)=K(x),其中K(x)=p1+p2+p3+...+pk;pk不大于 √ x的全部素数. 现在我们用这一张表格来形象地表现出来. 在表格中我们可以看出当pk-pk-1很小时它在pk-1^2到pk^2中筛出来的素数就很少，而当pk-pk-1很大时它在pk-1^2到pk^2中筛出来的素数就很多，为了要达到它的 目标函数K(x),它必须不断变换pk-pk-1的大小.当<变号为<时一定会存在一些等号.下面我们来看看这种变化的某些过程. π(pk^2)在3^2，5^2，7^2一直比E(pk^2)小，所以在11^2中它把pk-pk-1增大为4使<变为>. 在π(29^2)中把pk-pk-1增大为6 在π(97^2)中把pk-pk-1增大为8 在π(127^2)中来了一个大动作把pk-pk-1突然增大到14 区间 pk-pk-1 素数个数 π(pk^2) 关系式 K(pk^2) 2^2 2 2 2 = 2 2^2__3^2 1 2 4 < 5 3^2__5^2 2 5 9 < 10 5^2__7^2 2 6 15 < 17 7^2__11^2 4 15 30 > 28 11^2__13^2 2 9 39 < 41 13^2__17^2 4 22 61 > 58 17^2__19^2 2 11 72 < 77 19^2__23^2 4 27 99 < 100 23^2__29^2 6 47 146 > 129 29^2__31^2 2 16 162 > 160 31^2__37^2 6 57 219 > 197 37^2__41^2 4 44 263 > 238 41^2__43^2 2 20 283 > 281 43^2__47^2 4 46 329 > 328 47^2__53^2 6 80 409 > 381 53^2__59^2 6 78 487 > 440 59^2__61^2 2 32 519 > 501 61^2__67^2 6 90 609 > 568 67^2__71^2 4 66 675 > 639 71^2__73^2 2 30 705 < 712 73^2__79^2 6 106 811 > 791 79^2__83^2 4 75 886 > 874 83^2__89^2 6 114 1000 > 963 89^2__97^2 8 163 1163 > 1060 97^2__101^2 4 89 1252 > 1161 101^2__103^2 2 42 1294 > 1264 103^2__107^2 4 87 1381 > 1371 107^2__109^2 2 42 1423 < 1480 109^2__113^2 4 100 1523 < 1593 113^2__127^2 14 354 1877 > 1720 127^2__131^2 4 99 1976 > 1851 131^2__137^2 6 165 2141 > 1988 137^2__139^2 2 49 2190 > 2127 139^2__149^2 10 299 2489 > 2276 149^2__151^2 2 58 2547 > 2427 151^2__157^2 6 182 2729 > 3584 157^2__163^2 6 186 2915 > 2747 163^2__167^2 4 128 3043 > 2914 167^2__173^2 6 198 3241 > 3087 173^2__179^2 6 195 3436 > 3266 179^2__181^2 2 76 3512 > 3447 181^2__191^2 10 356 3868 > 3638 191^2__193^2 2 77 3945 > 3831 193^2__197^2 4 144 4089 > 4028 197^2__199^2 2 75 4164 < 4227 199^2__211^2 12 463 4627 > 4438 211^2__223^2 12 479 5106 > 4661 223^2__227^2 4 168 5274 > 4888 227^2__229^2 2 82 5356 > 5117 在表格中我们可以看出，π(pk^2)一直在为实现π(pk^2)=K(pk^2).
哥德巴赫偶数定理 哥德巴赫偶数定理 作者施承忠 2013.10.27 一：关于偶数分拆成两个素数和的个数的筛法问题 我们知道素数和孪生素数在不大于x的个数的筛选方法在任一个自然数中的方法是一致的.但是偶数分拆成两个素数和的个数的筛法在每一个偶数中是不一致的，每一 个偶数都存在一个独立的筛法.每一个偶数的筛法都是唯一的，是不通用的. 所以我们必须建立一个像筛选素数和孪生素数一样的统一的筛法. 我们在筛选哥德巴赫素数时是先筛出素数，然后再筛出能够分拆成该偶数两素数和的素数.但是筛出来后的素数对下一个偶数就不一定适用，这就是它的唯一性所致. 我们现在必要作第三次筛法才能解决这样的问题. 我们现在来如何解决这个问题，我们的办法是有的:这个办法就是在所有偶数中的D(x)中筛出一组数，x1<x2<x3<...<xk,使D(x1)<D(x2)<D(x3)<...<D(xk).并且 xk-1到xk之间的D(x)都不会小于D(xk). 二： D(x)的稀与密 对于素数和孪生素数的稀与密的理论都适用于D(x)中. 我们现在列出5万内D(x)的e(x)值 D(12^2)=(1+2)*1=3 D(68^2)=(1+15)*（1+2)=48 D(128^2)=(1+20.66666667)*(1+2+3)=130 D(152^2)=(1+15.9)*(1+2+3+4)=169 D(188^2)=(1+15.4)*(1+2+3+4+5)=246 D(332^2)=(1+28.33333)*(1+2+3+4+5+6)=616 D(398^2)=(1+28.21428)*(1+2+3+4+5+6+7)=818 D(488^2)=(1+30.83783)*(1+2+3+4+5+6+7+9)=1178 D(632)=10 D(399424)>(1+34.80851)*47=1683 我们可以看出D(x)一直都是稀的，它的稀密情况我们现在还看不出.但是我们可以肯定e(x)当x趋向无穷时是一个常数，当e(x)小于常数时为密，大于常数时为稀. 三： 哥德巴赫偶数定理 令xk≤ √ x k(x)=(D(x1)+D(x2)+D(x3)+...+D(xk)) 作一个辅助函数e(x) 令D(x)=(1+e(x))*k(x) 根据二： D(xk)的稀与密，当D(√ x)的密度标准时，e(x)为常数. 当D(√ x)的密度密时，e(x)小于常数. 当D(√ x)的密度稀时，e(x)大于常数. 当x趋向无穷时e(x)的绝对值趋向一个常数. 所以x趋向无穷D(x)=c*k(x) 证毕.
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