天边一道极光 天边一道极光
人之所以成为人……
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使用超越整数的思路,和Rayo数搞一点好玩的 超越整数的定义是一台图灵机M的停机时间,这个M可以在ZFC中被不超过n个字符证明可停机。 这个东西有意思在给了一个提高算术阶级的思路。 Rayo数的定义是在一阶逻辑中用不超过n个字符可定义的数的上界。 那我推广一下,q阶Rayo数(记作Rayo_q)的定义是在q阶逻辑中用不超过n个字符可定义的数的上界。 首先从1阶开始,注意到: 1. 很容易定义一台图灵机枚举1阶算数(比如ZFC)中的句子,这台图灵机可停机; 2. 很容易定义一台图灵机去判断句子是否是合法的数然后比大小。这台图灵机可停机。 现在定义一台q阶Rayo机是一台可以做上面这两件事的图灵机,那么q阶Rayo机可停机,但并无法在q阶算术内得到证明。令存在q阶Rayo机的可停机性的证明的最小算术系为q阶算术系得后继(即q+1阶)。 于是得到了一个函数f(q)=Rayo_q。不过这个函数无法迭代自己,实际上(目前)它没法以任何形式跳过算术阶级,“前一个算术阶级的后继”这个玩意是我们自己定义出来的…… 等等,这是不是很眼熟?我们有了第一个自然数(:=Rayo_1),我们有了取后继操作……这是个一阶的算术系(记作p阶Rayo算术系,p=1)!我们熟悉的运算都可以用了!最重要的是,Rayo算术系的阶数p似乎可以继续升阶,但我暂时没想好怎么定义后继……
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