Los晴明 Los晴明
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如何学习代数几何(转载) 就当是科普吧- -大家看着玩 学习代数几何快1年半了,想写写一些心得体会,供困惑的人学习。本人在迈入代数几何的殿堂前,学习了代数拓扑(包括,同调伦,同伦伦,纤维丛,示性类,基本的李群和层论,以及普序列),微分拓扑和微分几何(横街理论,morse理论,黎曼几何,向量丛的联络,曲率和Chern Weil-theory),代数(阿贝尔范畴上的同调代数,交换代数Atiyah和一些local algebra,范畴学),黎曼面。在美国第2个学期开始学习代数几何。 由于受几何和拓扑影响较深,所以开始进入代数几何是从Griffith && Harris开始的,基本除了Hodge理论以外,没有太大的困难,由于在美国也有老师上课讲Hodge理论,所以,困难也克服了。当然还学了些其它,可是最大的困难是Hartshorne, 非常不一样的语言,使得我有很大一部分时间处于郁闷状态,尽管做了这么多的袋鼠准备,仍然一开始不能接受这样的语言,归其原因,是因为先接受了Griffith的语言,而这2种语言,就注定在菜鸟阶段是冲突的,(尽管现在看来时compatible的)。 对于克服Hartshorne的困难的方法,其实只有一个方法,就是用时间来熟悉,其语言,尽量去完成上面的习题,做尽可能多的,一开始会很痛苦,发现有很多做不出来,不过,不要紧,keep on reading,直到将第2章念完,就可以回过头再做以前不会的题,然后第3章可以接着读,一般在第九节开始又会痛苦万分,对于没有感觉的题目,可以放下来,实际上许多题目是从更高深的 理论抽出来的。这样翻翻复复地做习题,是一个熟悉这套语言的重要步骤。 强烈建议在读完第2章Hartshorne,可以开始念念Mumford的lectures on curves on surfaces的第3章到第11章,那里有更几何的Scheme解释,不太认为Mumford的Red book的第2章适合一开始就念,比较好的是当熟悉了第2章hartshorne,以后念念Red Book第2章的specialization 和Functor of points, 在Hartshorne第3章第九第十节的习题遇到困难的时候,可以念Mumford的Red book的第3章local property of scheme,那里有etale,flat, smooth morphism非常详细的叙述和证明,而且非常几何。 再念完Hartshorne的Serre Duality可以开始念念第4章的第一节和第2节,可以给这个抽象的定理一个具体的应用。尽可能让自己不要在基础的代数几何上面停留太久,可以学些advanced 工具来理解为什么scheme theory这么重要,也是给自己动力和motivation的方法。建议是可以读读,Neukirch的 代数数论,看看scheme语言的数论运用,或则是念念Hilbert Scheme, Deformation theory,再看看美妙的应用例如,bend and break( mori 拿fields metal的工作),moduli space of curves。 一边想前走,一边修基础,这我想是学习袋鼠几何这个庞大分支的一个有效方法吧。介绍就到此为止,用我老板在开学第一天的话做个总结吧,“Algebraic geometry look like the sex, it is very excited, but it is not appropriate for undergraduate students"
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